On considère un échantillon i.i.d. \((X_i)_{1 \leq i \leq n}\) avec \(X_1\) de densité \(f_\theta(x) = \frac{2}{\theta^2} x \mathbf{1}_{[0,\theta]}(x)\), où \(\theta > 0\) est un paramètre inconnu.
On pose \(X^{(n)} = \max_{1 \leq i \leq n} X_i\).
(a) Donner la densité de \(X^{(n)}\).
(b) Donner les deux premiers moments de \(X^{(n)}\). En déduire sa variance.
(c) Montrer que \(X^{(n)}\) converge en probabilité vers \(\theta\).
(d) \(X^{(n)}\) est-il un estimateur fortement consistant de \(\theta\) ?
Étudier la convergence de \(X_n\). En déduire un estimateur consistant de \(\theta\).
Qui de \(X^{(n)}\) ou \(\frac{3}{2}X_n\) choisiriez-vous pour estimer \(\theta\) ?
Construire un intervalle de confiance pour \(\theta\) de niveau \((1-\alpha)\).
Construire un test de niveau \(\alpha\) de l’hypothèse nulle \(\theta = 1\) contre l’alternative \(\theta \neq 1\). On observe \(x^{(20)} = 0.85\), quelle est la p-valeur ? Rejette-t-on \(H_0\) au niveau 5% ?