Une entreprise fabrique des pièces en sous-traitance. Au sein d’une démarche qualité, toutes les machines ont été systématiquement révisées et une nouvelle organisation a été définie dans l’atelier : les tâches de contrôle sont réparties à chaque étape du processus de fabrication. Le taux de pièces défectueuses était alors tombé à \(1\%\).
Quelques mois plus tard, une opération de contrôle est effectuée pour vérifier si l’objectif de \(1\%\) reste valable. Sur les 5000 pièces contrôlées, 100 s’avèrent défectueuses, soit \(2\%\). Cette étude antérieure suggère la valeur \(p_1=0{,}02\) pour étudier le risque de ne pas détecter une dégradation.
Mme de Mainard, chef d’entreprise, décide de ne pas modifier son processus de production si le test ne rejette pas l’hypothèse nulle (décision \(D_0\)). S’il la rejette, elle entreprendra une action de sensibilisation des salariés de cet atelier au problème de la qualité (décision \(D_1\)).
Pour effectuer ce test, elle prélève un nouvel échantillon de 1500 pièces dans une production de grande taille, indépendamment de l’étude antérieure. On modélise les états des pièces par des variables \(X_1,\ldots,X_{1500}\) indépendantes de même loi, avec \(X_i=1\) si la pièce \(i\) est défectueuse et \(X_i=0\) sinon. Ainsi, \[X_i\sim\mathcal B(1,p),\qquad K=\sum_{i=1}^{1500}X_i\sim\mathcal B(1500,p), \qquad F=\frac{K}{1500}.\] Les 1500 pièces ne sont pas prélevées sans remise dans le lot initial de 5000 pièces ; un tel prélèvement conduirait à un modèle hypergéométrique.
Si la chef d’entreprise se fixe un risque nominal de \(1\%\) d’entreprendre une action de sensibilisation des salariés à tort, quel sera le taux critique de pièces défectueuses qui fera prendre une décision, en utilisant l’approximation normale ? Vérifier le risque binomial réel de cette règle et comparer avec une règle exacte de niveau au plus \(1\%\).
Si, dans l’échantillon prélevé, le nombre de pièces défectueuses est 18, quelle sera la décision de la chef d’entreprise ?
Calculer alors le risque de l’acheteur, c’est-à-dire ne pas modifier le processus de production alors qu’on le devrait, lorsque \(p=p_1=0{,}02\). Comment s’appelle ce risque ? Donner aussi la puissance. Distinguer l’approximation normale et les risques binomiaux des deux règles de décision.