La densité \(f_\theta(x) = f(x - \theta) = \frac{3}{4} (1 - (x - \theta)^2)\) est définie pour \(x - \theta \in [-1, 1]\), c’est-à-dire \(\theta - 1 \le x \le \theta + 1\).

La vraisemblance est \(L(\theta) = \prod_{i=1}^n \frac{3}{4} (1 - (X_i - \theta)^2)\) si \(\theta - 1 \le X_i \le \theta + 1\) pour tout \(i\), et \(L(\theta) = 0\) sinon. La condition \(\theta - 1 \le X_i \le \theta + 1\) pour tout \(i\) équivaut à \(\max_i X_i - 1 \le \theta \le \min_i X_i + 1\). Soient \(X_{(1)} = \min_i X_i\) et \(X_{(n)} = \max_i X_i\). La vraisemblance est non nulle pour \(\theta \in [X_{(n)} - 1, X_{(1)} + 1]\).

Sur cet intervalle, la log-vraisemblance est : \[\ell(\theta) = n \ln(3/4) + \sum_{i=1}^n \ln(1 - (X_i - \theta)^2).\] L’estimateur du maximum de vraisemblance \(\hat{\theta}_{MV}\) est la valeur de \(\theta\) qui maximise \(\sum_{i=1}^n \ln(1 - (X_i - \theta)^2)\) sur l’intervalle \([X_{(n)} - 1, X_{(1)} + 1]\). Il n’y a pas de solution analytique simple en général.

L’estimateur est défini par cette optimisation. \(\hat{\theta}_{MV} = \mathrm{argmax}_{\theta \in [X_{(n)}-1, X_{(1)}+1]} \sum_{i=1}^n \ln(1 - (X_i - \theta)^2)\), où \(X_{(1)} = \min_i X_i\) et \(X_{(n)} = \max_i X_i\).

Vraisemblance sur un modèle de translation