\(J_x\) est un ouvert non vide car c’est une union d’ouverts contenant \(x\). De plus \(J_x\) est un intervalle car c’est une union d’intervalles contenant tous le point \(x\). Donc \(J_x\) est un intervalle ouvert. On peut donc écrire \(\mathcal{O} = \cup_{x\in \mathcal{O}} J_x\). Mais cette union n’est pas nécessairement dénombrable.

Tout d’abord si \(z\in J_x\) alors \(J_x=J_z\). En effet soit \(I\) un intervalle inclus dans \(\mathcal{O}\) contenant \(x\) et \(z\). Si \(x'\in J_x\), soit \(J\) un intervalle inclus dans \(\mathcal{O}\) contenant \(x\) et \(x'\). Alors \(I\cup J\) est un intervalle (car \(x\) est dans les deux intervalles \(I\) et \(J\)), \(I\cup J\) est inclus dans \(\mathcal{O}\) et contient \(x'\) et \(z\). Donc \(x'\in J_z\). Donc \(J_x \subset J_z\). Enfin comme \(z\in J_x\) on a aussi \(x\in J_z\), donc on montrerait de même \(J_z\subset J_x\). Donc \(J_x=J_z\).

Pour \(x,y \in \mathcal{O}\) alors \(J_x=J_y\) ou \(J_x \cap J_y = \varnothing\). En effet supposons que \(J_x\cap J_y \neq \varnothing\) et soit \(z \in J_x \cap J_y\). Comme \(z\in J_x\) alors \(J_x=J_z\), comme \(z\in J_y\) alors \(J_y=J_z\). Donc \(J_x=J_y\).

Pour chaque intervalle ouvert \(J_x\) il existe \(q \in \Qq \cap J_x\), avec bien sûr \(J_x = J_q\). Comme \(\Qq\) est dénombrable \(\mathcal{O}\cap \Qq\) l’est aussi. On a ainsi écrit \[\mathcal{O} = \bigcup_{q\in \mathcal{O}\cap \Qq} J_{q},\] ce qui était demandé. Pour \(\Rr^n\) on peut montrer le résultat suivant : tout ouvert \(\mathcal{O}\) de \(\Rr^n\) s’écrit comme l’union dénombrable de boules ouverte. On considére \(J_x\) l’union des boules ouvertes de rayon rationnel centrées en \(x\), ensuite on regarde seulement les \(x\) appartenant à \(\mathcal{O} \cap \Qq^n\). Par contrer on autorise deux boules à s’intersecter.

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