Supposons sans perte de généralité \(u\) croissante (quite à remplacer \(u\) par \(-u\)). Dans ce cas, ou bien \(u\) converge, ou bien \(u\) tend vers \(+\infty\). Supposons que \(u\) tende vers \(+\infty\), et montrons qu’il en est de même pour la suite \(v\). Soit \(A\in\Rr\). Il existe un rang \(n_0\) tel que pour n naturel supérieur ou égal à \(n_0\), \(u_n\geq2A\). Pour \(n\geq n_0+1\), on a alors,

\[\begin{align*} v_n&=\frac{1}{n+1}\left(\sum_{k=0}^{n_0}u_k+\sum_{k=n_0+1}^{n}u_k\right)\geq \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n_0}u_k+\frac{(n-n_0)2A}{n+1} \end{align*}\] Maintenant, quand \(n\) tend vers \(+\infty\), \(\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n_0}u_k+\frac{(n-n_0)2A}{n+1}\) tend vers \(2A\) et donc, il existe un rang \(n_1\) à partir duquel \(v_n\geq\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n_0}u_k+\frac{(n-n_0)2A}{n+1}>A\). On a montré que : \(\forall n\in\Nn,\;\exists n_1\in\Nn/\;(\forall n\in\Nn),\;(n\geq n_1\Rightarrow v_n>A)\). Par suite, \(\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=+\infty\). Par contraposition, si \(v\) ne tend pas vers \(+\infty\), la suite \(u\) ne tend pas vers \(+\infty\) et donc converge, d’après la remarque initiale.

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