Par l’absurde on suppose qu’il y a (au moins) quatre racines distinctes pour \(P_n(X) = X^n+aX+b\). Notons les \(x_1 <x_2<x_3<x_4\). Par le théorème de Rolle appliqué trois fois (entre \(x_1\) et \(x_2\), entre \(x_2\) et \(x_3\),...) il existe \(x'_1<x'_2<x'_3\) des racines de \(P'_n\). On applique deux fois le théorème Rolle entre \(x'_1\) et \(x'_2\) et entre \(x'_2\) et \(x'_3\). On obtient deux racines distinctes pour \(P''_n\). Or \(P''_n = n(n-1)X^{n-2}\) ne peut avoir que \(0\) comme racines. Donc nous avons obtenu une contradiction. Autre méthode : Le résultat est évident si \(n\leq 3 .\) On suppose donc \(n\geq 3 .\) Soit \(P_n\) l’application \(X\mapsto X^n+aX+b\) de \(\R\) dans lui-même. Alors \(P'_n(X)=nX^{n-1}+a\) s’annule en au plus deux valeurs. Donc \(P_n\) est successivement croissante-décroissante-croissante ou bien décroissante-croissante-décroissante. Et donc \(P_n\) s’annule au plus trois fois.

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