Soit \(f\) une fonction croissante \([a,b]\). Pour montrer que \(f\) est Riemann-intégrable, il suffit de trouver, pour tout \(\varepsilon>0\) donné, une subdivision de \([a, b]\) telle que \(\overline{S}_{f}^{\sigma} - \underline{S}_{f}^{\sigma} < \varepsilon\). Soit \(\sigma=\{a_{0}=a < \dots < a_{n} = b\}\) la subdivision régulière de \([a,b]\), de pas \(\left(\frac{b-a}{n}\right)\). On a \[\begin{equation} \inf_{]a_{k-1}, a_{k}[} f = f(a_{k-1}) \quad \text{et} \quad \sup_{]a_{k-1}, a_{k}[} f = f(a_{k}). \end{equation}\] Ainsi : \[\begin{aligned} \overline{S}_{f}^{\sigma} - \underline{S}_{f}^{\sigma} &=& \sum_{k=1}^{n} (a_{k} - a_{k-1})\left( f(a_{k}) - f(a_{k-1}) \right) \\ &= &\left(\frac{b-a}{n}\right) \sum_{k=1}^{n}\left( f(a_{k}) - f(a_{k-1}) \right)\\& =& \left(\frac{b-a}{n}\right)\left(f(b)- f(a)\right). \end{aligned}\] Pour \(n\) assez grand, la subdivision régulière de \([a,b]\) satisfait \(\overline{S}_{f}^{\sigma} - \underline{S}_{f}^{\sigma} < \varepsilon\). D’autre part, si \(g\) est décroissante, \(f = -g\) est croissante, donc \(g\) est Riemann-intégrable par l’exercice précédent (question 2.) avec \(\lambda = -1\).

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