Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphisme s d’un espace vectoriel \(E\) de dimension
\(n\) sur
\(K=\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), ayant chacun \(n\) valeurs propres distinctes dans
\(K\). Montrer que
\[f \circ g = g \circ f \quad \Longleftrightarrow \quad f \mbox{~et~} g \mbox{~ont les mêmes vecteurs propres}.\]
Supposons maintenant que \(K=\mathbb{C}\) et que \(f \circ g = g \circ f\). Si \(u\) est un endomorphisme on dit qu’un espace vectoriel \(F\) est \(u\)-stable si \(u(F) \subset F\). Montrer que tout sous-espace propre de \(f\) est \(g\)-stable.
Remarque : On peut montrer par récurrence sur \(n\) qu’il existe un vecteur propre commun à \(f\)et \(g\). On admettra ce résultat.
Considérons \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de \(\mathbb{R}^3\) dont les matrices dans la base canonique sont respectivement \[M = \left ( \begin{array}{cccc} 5 & -4 & -4 \\ 1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \\ \end{array} \right ) ~~~~~\text{et}~~~~~N = \left ( \begin{array}{ccc} -2 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \\ -2 & 2 & 3 \\ \end{array} \right )\]
Vérifier que \(f \circ g = g \circ f\) et déterminer les sous-espaces propres de \(M\) et \(N\).
Déterminer une base de \(\mathbb{R}^3\) dans laquelle les matrices de \(f\) et \(g\) sont diagonales.