Par la méthode usuelle nous calculons les racines carrées \(\omega, -\omega\) de \(z = \frac{1+i}{\sqrt{2}}\), nous obtenons \[\omega = \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}},\] qui peut aussi s’écrire : \[\omega = \frac 12 \sqrt{2+\sqrt 2} +i \frac 12 \sqrt{2-\sqrt 2}.\]

Mais nous remarquons que \(z\) s’écrit également \[z = e^{i\frac{\pi}{4}}\] et \(e^{i\frac{\pi}{8}}\) vérifie \[\left (e^{i\frac{\pi}{8}}\right)^2 = e^{\frac{2i\pi}{8}} = e^{i\frac{\pi}{4}}.\] Cela signifie que \(e^{i\frac{\pi}{8}}\) est une racine carrée de \(z\), donc \(e^{i\frac{\pi}{8}} = \cos \frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\) est égal à \(\omega\) ou \(-\omega\). Comme \(\cos \frac{\pi}{8} > 0\) alors \(e^{i\frac{\pi}{8}} = \omega\) et donc par identification des parties réelles et imaginaires : \[\cos \frac{\pi}{8} = \frac 12 \sqrt{2+\sqrt 2} \quad \text{ et }\quad \sin \frac{\pi}{8} = \frac 12 \sqrt{2-\sqrt 2}.\]

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