Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Analyse 3 – Calculs de dérivées, de primitives et d’intégrales
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
Le but de ce chapitre est de consolider et de compléter la maitrise des règles de dérivation et de quelques techniques de primitivation pour permettre la résolution d’équations différentielles et leur utilisation en sciences physiques.
- a) Calculs de dérivées 39
- b) Calcul des dérivées partielles d’une fonction de deux variables 52
- c) Calculs de primitives 37
- d) Calculs d’intégrales 141
exo7 4243
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\).
exo7 4244
Étudiez la limite de la suite définie par \(u_n=\frac n2-\sum_{k=1}^n\frac{n^2}{(n+k)^2}\cdotp\)
exo7 4247
Soit \(f : {[0,2\pi]} \to \R\) convexe de classe \(\mathcal{C}^2\). Quel est le s ...
exo7 4254
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que ...
exo7 4255
On note \(I_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \cos^nt\,d t\).
exo7 4259
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^{+*}}\) continue.
exo7 4263
...
exo7 4265
...
exo7 4266
...
exo7 4267
\(\int_{t=0} ^{\pi/2} \cos^4t \,d t = \frac{3\pi}{16}\)
...
exo7 4268
\(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ d t}{e^t+t^2e^{-t}}\) (cv)
...
exo7 4269
\(\int_0^{+\infty} \frac{ d t}{(1+t^2)^2} = \frac{\pi}{4}\)
...
exo7 4270
\(\int_0^{2\pi} \frac{ d t}{2+\sin{t}} = \frac{ 2\pi}{\sqrt3}\)
...
exo7 4271
\(\int_0^1 \sqrt{ \frac{ t}{1-t} }\,d t = \frac{ \pi}{2}\)
...
exo7 4273
\(\int_0^{+\infty} te^{-\sqrt t} \,d t = 12\)
...
exo7 4275
Existence et calcul de \(f(x) = \int_0^\pi\frac{dt}{1-x\cos t}\).
exo7 4277
On pose \(I_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \cos(2nt)\ln(\sin t)\,d t\) (\(n\in\N^*\)). C ...
exo7 4278
Soit \(\alpha \in\, ]0,\pi[\) et ...
exo7 4285
Calculer \(\int_{t=1}^{+\infty} \frac{t-[t]}{t^2} \,d t\) en fonction de la constante d’Euler.
exo7 4286
Soit \(\gamma\) la constante d’Euler. Montrer que …
exo7 4288
Calculer ...
exo7 4295
Soit \(f : {]0,{+\infty}[} \to \R\) une fonction continue telle que ...
exo7 4297
Soit \(f:\R \to \R\) continue par morceaux telle que ...
exo7 4303
On admet que \(\int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\,d t =\frac{\sqrt\pi}2\). Calculer les intégrales : ...
exo7 4306
Soit \(P\) un polynôme à coefficients réels de degré supérieur ou égal à 2. Montrer que ...
exo7 4314
Calculer les limites : \(\lim_{x\to0} \int_x^{3x} \frac t{\tan^2t}\,dt\) et ...
exo7 4316
Chercher \(\lim_{x\to0^+} \int_{t=x}^{x^2} \frac{e^{-t}\,d t}{\sin t\ln t}\).
exo7 4320
Donner un équivalent pour \(x\to+\infty\) de ...
exo7 4325
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Montrer que ...
exo7 4326
Donner les deux premiers termes du DL pour \(n\to\infty\) de ...
exo7 4328
Chercher un équivalent pour \(n\to\infty\) de ...
exo7 4339
Calculer \(\varphi(a) = \int_{t=0}^1 \frac{d t}{1+at}\).
exo7 4344
On considère les fonctions définies par : \(f(x) = \left({ \int_{t=0}^x e^{-t^2}\,d t}\right)^2\) et ...
exo7 4345
On donne : \(\int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\,d t =\frac{\sqrt\pi}2\). Existence et valeur de ...
exo7 4357
Soient \(J(x) = \int_{t=0}^{\pi/2}\frac{d t}{\sqrt{\sin^2t + x^2\cos^2t}}\) et ...
exo7 4377
Soit \(f(x) = \int_{t=0}^1\frac{1-t}{\ln t}t^x\,d t\). Étudier le domaine de définition de ...
exo7 4386
Soit \(I = \int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\,d x\).
En calculant ...
exo7 4388
Soit \(\cal E\) l’ellipse d’équation \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) ( ...
exo7 4398
Dans le plan \(Oxy\) on considère la courbe \(\mathcal{C}\) d’équation polaire ...
exo7 4585
Calculer \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}\cdotp\)
exo7 4609
Établir la convergence puis calculer la valeur de \(\int_{t=0}^1 \frac{\ln(t^2)\ln(1-t^2)}{t^2}\,d t\).
exo7 480
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\), \(f(x) = x^3-3x\). Tracer les graphes des fonct ...
exo7 4982
Étudier les points stationnaires des courbes paramétrées suivantes :
exo7 5025
Soit la courbe paramétrée par : \(x = 2t^3+3t^2\),\(y = 3t^2+6t\). Calculer la lo ...
exo7 5026
Calculer la longueur totale des courbes suivantes :
exo7 5076
Calculer une primitive de chacune des fonctions suivantes :
exo7 5079
Soit \(k\) un réel distinct de \(-1\) et de ...
exo7 5097
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\Rr\) à valeurs dans ...
exo7 5137
La difficulté va en augmentant graduellement de facile à assez difficile sans être insurmontable.
exo7 5373
Soient \(a_{i,j}\) (\((i,j)\) élément de ...