Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
a) Développements limités
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Définition de la notation $o(x^n)$ pour désigner des fonctions négligeables devant la fonction $x \mapsto x^n$ pour $n \in \mathbb{Z}$, au voisinage de 0 ou de l’infini. | On se ramène, aussi souvent que nécessaire, à la limite d’un quotient. |
Définition des développements limités en 0. Unicité des coefficients d’un développement limité. | Les problèmes de développement limité en un réel non nul ou en $\pm\infty$ sont ramenés en 0. |
Opérations sur les développements limités : somme, produit. | L’obtention d’un développement limité pour une fonction composée est présentée et mise en œuvre sur des exemples simples. |
Primitivation d’un développement limité. | |
Formule de Taylor-Young : existence d’un développement limité à l’ordre $n$ pour une fonction de classe $\mathscr{C}^n$. | La formule de Taylor-Young est admise. |
Développements limités usuels au voisinage de 0 : $\exp$, $\cos$, $\sin$, $x \mapsto 1/(1 + x)$, $x \mapsto \ln(1 + x)$, $x \mapsto (1 + x)^\alpha$. | Les exercices de calcul de développements limités ont pour objet de faciliter l’assimilation des propriétés fondamentales et ne doivent pas être orientés vers la virtuosité calculatoire : sur les exemples numériques, on évitera tout développement limité au-delà de l’ordre 3. |
exo7 5457
Partie principale quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de ...
exo7 5568
Soit \(f(x) =\ln(1+x)\) pour \(x\) réel positif. Soient ...
exo7 5695
Trouver un développement limité à l’ordre \(4\) quand \(n\) tend vers l’infini de ...
exo7 625
Calculer les limites suivantes : ...
exo7 6303
Montrer que si \(x = 1,32 \pm 10^{-2}\) et \(y = 0,45 \pm 10^{-2}\), alors ...
exo7 632
Calculer les limites suivantes : ...
exo7 6837
Soit \(f: \ ]0,+\infty[\ \times \ ]0,+\infty[ \ \times \Rr \to \Rr\) la fonction ...
exo7 6888
Donner le développement limité en \(0\) des fonctions :
exo7 729
Appliquer la règle de l’Hôpital aux calculs des limites suivantes : ...
exo7 730
Calculer \[\lim_{x\rightarrow 0}\ \ \frac{\cos (x^4)-1}{x^4e^x} ;\]
...
exo7 7564
Développer si possible en séries entières au voisinage de \(0\) les applications
exo7 795
Calculer : \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}\frac{e^{t}}{1+t^{n}}dt.\] Éventuellemment, en donner ...
Étude d'une série numérique
Soit \(\alpha\) un nombre réel et \((u_n)\) la suite définie pour tout entier nat ...
Étude de la nature d'une série
Prouver qu’un équivalent de \(e^{x^2}-\cos(x)\) au voisinage de \(0\) est ...