Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
a) Développements limités
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Définition de la notation $o(x^n)$ pour désigner des fonctions négligeables devant la fonction $x \mapsto x^n$ pour $n \in \mathbb{Z}$, au voisinage de 0 ou de l’infini. | On se ramène, aussi souvent que nécessaire, à la limite d’un quotient. |
Définition des développements limités en 0. Unicité des coefficients d’un développement limité. | Les problèmes de développement limité en un réel non nul ou en $\pm\infty$ sont ramenés en 0. |
Opérations sur les développements limités : somme, produit. | L’obtention d’un développement limité pour une fonction composée est présentée et mise en œuvre sur des exemples simples. |
Primitivation d’un développement limité. | |
Formule de Taylor-Young : existence d’un développement limité à l’ordre $n$ pour une fonction de classe $\mathscr{C}^n$. | La formule de Taylor-Young est admise. |
Développements limités usuels au voisinage de 0 : $\exp$, $\cos$, $\sin$, $x \mapsto 1/(1 + x)$, $x \mapsto \ln(1 + x)$, $x \mapsto (1 + x)^\alpha$. | Les exercices de calcul de développements limités ont pour objet de faciliter l’assimilation des propriétés fondamentales et ne doivent pas être orientés vers la virtuosité calculatoire : sur les exemples numériques, on évitera tout développement limité au-delà de l’ordre 3. |
Développement limité
Donner le développement limité de \(\ln(1+x)\) au voisinage de \(0\) à l’ordre ...
Développement limité
Donner le développement limité de \(e^x\) et de \(\sin(x)\) au voisinage de ...
Equivalents simples
Trouver un équivalent simple pour chaque fonction suivante :
Equivalents simples
Trouver un équivalent simple pour chaque fonction suivante :
Etude d'une série positive
Pour tout \(n \in \N^*\), on pose : ...
Etude de diverses séries
Dans chacun des cas, dire si la série est absolument convergente, semi-convergente, divergente ou grossièrement divergente.
exo7 1215
Montrer que si \(f\) tend vers \(0\) en \(a\) al ...
exo7 1217
Calculer les limites de
exo7 1218
Trouver un équivalent simple en \(+ \infty\) de ...
exo7 1219
Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + x^2} - \sqrt[3]{x^3 - x^2}\)
exo7 1231
Soit \(f\) une application de \({ \Rr}\) dans ...
exo7 1237
Donner le développement limité en \(0\) des fonctions :
exo7 1238
Soit \(f : { \Rr} \rightarrow { \Rr}\) la fonction définie par \(f(x)=0\) si ...
exo7 1239
Déterminer la limite en \(0\) de ...
exo7 1240
Faire un développement limité ou asymptotique en \(a\) à l’ordre \(n\) de :
exo7 1241
Développements limités en \(0\) de :
exo7 1242
Pour chacune des fonctions suivantes, donner les conditions sur \(\epsilon (x)\) pour que ces fonctions soient des ...
exo7 1243
Développement limité en \(1\) à l’ordre \(3\) de ...
exo7 1244
Donner un développement limité à l’ordre \(2\) de ...
exo7 1245
Donner un développements limité en \(0\) à l’ordre \(10\) de :
exo7 1246
Donner le DL2 en \(+\infty\) de : ...
exo7 1247
Calculer les limites suivantes ...
exo7 1248
Calculer les limites suivantes : ...
exo7 1251
Établir pour tout \(x \in { \Rr}_+^*\) l’inégalité : ...
exo7 1252
Montrer que pour tout ...
exo7 1253
Soit \(f (x) = (\cos x)^{\frac 1x}\) pour ...
exo7 1254
Étudier les branches infinies des fonctions :
exo7 1255
Soit \((1)\) l’équation \(x-E (x) = \frac 1 {x^2}\).
exo7 1256
Calculer pour \(a\in \Rr^{+*}\) : ...
exo7 1257
Calculer : \[\ell=\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\left( \frac{\ln x+1}{\ln x}\right)^{x\ln x}\] et donner un équiva ...
exo7 1259
Soit \(n\in \Nn^{*},x\neq 0,\) on définit : ...
exo7 1260
Déterminer : \[\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2\tan x-\sh 2x}{(1-\cos 3x)\arctan x}.\]
exo7 1261
Soient \(u,v,f\) définies par : ...
exo7 1264
Montrer que, pour tout \(x\) réel vérifiant \(\vert x \vert \leq 1\) : ...
exo7 1265
Déterminer:
exo7 1267
Soit \(f\) l’application de \(\Rr\) dans \(\Rr\) ...
exo7 1270
Soit \(f\in C^{\infty }({\Rr},{\Rr})\) telle que ...
exo7 1279
Donner un développement : \[\int_{0}^{1}\frac{e^{t}}{1+t^{n}}dt=a+\frac{b}{n}+o(\frac{1}{n}).\]
exo7 1833
Soit \({f}: {\Rr^{2}} \to {\Rr}\), \({ (x, y)}\mapsto {xe^{y} + ye^{x}}\).
...
exo7 2652
Utiliser une approximation affine bien choisie pour calculer une valeur approchée de \[\exp[-0.02\sqrt{4.03}].\] ...
exo7 2657
Calculer \[\ell = \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\ln(x+1)}{\ln x}\right)^x.\] Donner un équivalent de ...
exo7 3194
Soit \(n\in\N^*\). Montrer l’existence de \(P_n\in\R[X]\) tel que ...
exo7 3911
Simplifier \(\sum_{k=0}^{n-1} 3^k\sin^3\left(\frac\alpha{3^{k+1}}\right)\).
exo7 4004
Soit \(f:\R \to \R\) trois fois dérivable en \(a\). Étudier ...
exo7 4006
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que pour tous ...
exo7 4010
Soit \(f : {[-a,a]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). Montrer que :
...
exo7 4012
Différences finies Soit \(f:\R \to \R\) de classe ...
exo7 4019
Calculer le développement limité de \(\left(\frac{\tan x}x\right)^{1/x^2}\) en ...
exo7 4020
\(\frac 1{\sin^2x} - \frac 1{\sh^2x} \to \frac 23\) lorsque ...