Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Géométrie 1
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Ce chapitre vise à consolider les acquis des années antérieures sur les notions de vecteurs, droites et plans dans le plan et l’espace géométriques. En mathématiques, il sert essentiellement de support intuitif et introductif à l’algèbre linéaire ; il permet aussi de présenter le produit scalaire qui sera étudié dans des espaces plus généraux en seconde année. Enfin, ce chapitre sert également aux sciences physiques et à la géologie.
En mathématiques, une épreuve écrite ou orale ne doit pas reposer sur ce chapitre.
Dans tout ce chapitre, on se place dans le plan et l’espace géométriques formés de points et dans lesquels plusieurs notions et résultats sont supposés connus : distance entre deux points, parallélisme, perpendicularité, angle géométrique, angle orienté, angle droit, cosinus d’un angle géométrique, trigonométrie du triangle rectangle.
- a) Vecteurs du plan et de l’espace. 50
- b) Déterminant 17
- c) Droites et cercles dans le plan 168
- d) Droites et plans dans l’espace 122
- e) Projection orthogonale 61
- f) Produit scalaire 78
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Soit \(ABC\) un triangle dans un plan euclidien orienté \(E\). On notera ...
exo7 7267
Soit \(ABC\) un triangle. Notons \(\Delta_A\), ...
exo7 7268
Soit \(\mathcal{T}\) un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l’angle droit mesurent ...
exo7 7269
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de côté \(a\). Soit ...
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Le théorème de Bolyai affirme que deux polygones de même aire peuvent toujours être obtenus l’un à partir de l’autre par découpage et reco ...
exo7 7271
Une translation transforme-t-elle une droite en une droite qui lui est parallèle ?
exo7 7274
On rappelle que l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(\lambda\), ...
exo7 7276
Étant données deux demi-droites \([OA)\) et \([OB)\), on veut construire la bisse ...
exo7 7277
Comment construire, au compas seul, le symétrique d’un point par rapport à une droite? Comment construire à l ...
exo7 7278
Étant donnés trois points \(A\), \(B\), ...
exo7 7280
Montrer que pour tout \(\theta \in \Rr\), on a ...
exo7 7282
Étant données trois longueurs \(a\), \(b\) et ...
exo7 7283
Étant données deux longueurs \(a\) et \(b\), construire à la règle et au compas l ...
exo7 7284
Soit \(\mathcal{C}\) un cercle de centre \(O\) et de rayon ...
exo7 7285
Si \(\Omega\) est un point et si \(\lambda\) est un réel non nul, l’inversion ...
exo7 7287
On considère quatre points distincts \(A\), ...
exo7 7288
La notion de «construction au compas» est un peu ambiguë. On distingue:
le compas traçant, qui permet, à partir de deux po ...
exo7 7289
La question de trouver le centre d’un cercle à la règle et au compas a été étudiée à l’exercice [centre-regle-compas ...
exo7 74
Déterminer les nombres complexes \(z\) tels que le triangle ayant pour sommets les points d’affixes ...
exo7 7413
Pour un entier \(n\geq 2\) et \(x\) dans \(\Rr\) ...
exo7 7417
Deux plans de l’espace affine \(\Rr^3\) peuvent-ils avoir un unique point d’intersection ?
exo7 7420
Soit l’espace affine \(\Rr^3\) muni d’un repère affine \(A_0,A_1,A_2,A_3\).
exo7 7421
Soit l’espace affine \(\Rr^3\) muni d’un repère affine \(A_0,A_1,A_2,A_3\).
exo7 7422
Soit \(a\) et \(b\) deux réels non nuls distincts. Dans un plan affine muni d’un ...
exo7 7423
Dans un espace affine de dimension \(3\) muni d’un repère affine.
exo7 7424
Dans l’espace affine \(\Rr^2\), on considère le triangle \(ABC\). Choisir un repè ...
exo7 7427
Dans un plan affine, soit \(ABC\) et \(A'B'C'\) deux triangles de cen ...
exo7 7429
On suppose savoir tracer la parallèle à une droite donnée passant par un point donné. On peut utiliser un compas mais seulement pour reporter des l ...
exo7 7430
On considère dans l’espace affine \(\Rr^2\) un triangle non aplati \(ABC\). Soit ...
exo7 7438
Dans l’espace affine \(\Rr^3\) muni d’un repère affine \(A_0,A_1,A_2,A_3\), donne ...
exo7 7439
Deux droites se coupent hors de la feuille en un point \(I\). Soit \(A\) un point ...
exo7 7440
Dans un plan affine, quel est l’ensemble des milieux des segments dont les extrémités appartiennent respectivement à deux segments donnés.
exo7 7446
Soit \(E\) l’espace vectoriel \(\Rr^3\) muni du produit scalaire canonique et de ...
exo7 7448
Soit \(\mathcal{E}\) un espace affine euclidien de dimension \(3\). Pour tout cou ...
exo7 7450
Dans le plan euclidien muni d’un repère orthonormé on considère les points ...
exo7 7453
Dans un espace vectoriel euclidien, deux sous-espaces vectoriels non nuls orthogonaux sont-ils toujours en somme directe ?
exo7 7454
Soit \(A\) et \(B\) deux points fixés dans un plan affine euclidien. Déterminer l ...
exo7 7456
Deux cercles sont dits orthogonaux si les tangentes aux points d’intersection sont orthogonales. Montrer que les cercles ...
exo7 7457
Soit \(A\) et \(B\) deux points d’un plan affine euclidien. Déterminer suivant la ...
exo7 7461
Soit \(E\) un plan affine euclidien muni d’un repère cartésien orthonormé. Soient ...
exo7 7464
Soit \(C\) un cercle et \(\vec{u}\) un vecteur. Construire une corde ...
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Soit \(d\) une droite. Soit \(\mathcal{C}\) un cercle et ...
exo7 7467
On considére le plan muni d’un un repère orthonormé (\(O, \overrightarrow {\imath},\overrightarrow{\jmath}\)) et l ...
exo7 7474
Soit \(E\) un plan affine euclidien muni d’un repère cartésien orthonormé. Soient ...
exo7 7480
Construire un segment \([A,B]\) connaissant son milieu \(I\) et sachant que ...
exo7 7482
Soit \(\mathcal{C}\) un cercle et \(\vec{u}\) un vecteur. Construire une corde ...
exo7 7483
Construire un carré \(ABCD\) sachant que \(A\) et ...
exo7 7484
Soit \(d\) une droite. Soit \(\mathcal{C}\) un cercle et ...
exo7 7485
Dans un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\) trouver la relation entre la longueur ...