Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
c) Raisonnement par récurrence
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Raisonnement par récurrence. | Lorsqu’un raisonnement par récurrence nécessite une hypothèse dite « forte », la formulation de cette hypothèse devra être proposée. |
exo7 1046
Soit \(A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0& 1 &1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}\) et soit ...
exo7 1132
Soit \((a,b)\in\R^2\) avec \(a\neq b\). Pour ...
exo7 1147
Soient \(a,b,c\) trois réels et \(\Delta_{n}\) le déterminant de taille ...
exo7 1149
Soit \(\Delta_{n}\) le déterminant de taille \(n\) suivant : ...
exo7 152
Démontrer, en raisonnant par récurrence, que \(10^{6n+2}+10^{3n+1}+1\) est divisible par ...
exo7 153
Montrer :
exo7 154
En quoi le raisonnement suivant est-il faux ?
Soit \(\mathcal{P}(n)\) : ...
exo7 155
Soit la suite \((x_n)_{n\in \Nn}\) définie par \(x_0=4\) et ...
exo7 156
Dans le plan, on considère trois droites \(\Delta_{1},\Delta_{2},\Delta_{3}\) formant un “vrai” triangle : elles n ...
exo7 157
Soit \(X\) un ensemble. Pour \(f \in \mathcal{F} (X, X)\), on définit ...
exo7 158
Montrer que \[\forall n\geq 2,n!\leq \left( \frac{n+1}{2}\right) ^{n}.\]
exo7 159
Pour tout entier naturel \(n\), on pose ...
exo7 160
Pour \(n\in \mathbb{N}\) on considère la propriété suivante : ...
exo7 161
Que pensez-vous de la démonstration suivante ?
exo7 162
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(9\) divise ...
exo7 163
Démontrer que pour \(n\geq 1\), le produit de \(n\) entiers impairs est un entier ...
exo7 164
On considère une suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) telle que : ...
exo7 165
Soit \(b\geq 2\) un entier fixé. Démontrer que pour tout ...
exo7 166
Démontrer par récurrence que pour tout \(k\in\mathbb{N}\), \(k!\) divise le produ ...
exo7 167
Les propriétés \[P_n \;:\; 3 \mid 4^n-1 \;,\; \forall n \in \mathbb{N},\] et ...
exo7 168
Calculer les restes de la division euclidienne de \(1,4,4^2,4^3\) par \(3\).
exo7 169
Démontrer, en raisonnant par récurrence, que \(3^{2n+2}-2^{n+1}\) est divisible par ...
exo7 170
Démontrer par récurrence: \[\sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\]
exo7 171
Montrer que pour tout entier \(n\geq 1\): ...
exo7 172
Démontrer, en le déterminant qu’il existe un entier \(n_0\) tel que ...
exo7 173
Démontrer par récurrence sur \(n\) que pour tout \(n\geq 2\) l’implication ...
exo7 174
Soit \(n\in\mathbb{N}\); montrer que pour tout entier \(k\geq 1\) on a ...
exo7 175
Montrer par récurrence que pour tout entier \(n\in\mathbb{N}\), ...
exo7 176
On définit une suite \((F_n)\) de la façon suivante : ...
exo7 177
Montrer que : \[2\cos \frac{\pi}{2^n} = \sqrt{2+\sqrt{2+\ldots\sqrt{2}}}.\]
exo7 178
Pour \(n \in \mathbb{N},\) \(n \geq 2,\) trouver une loi simplifiant le produit : ...
exo7 179
Pour \(n \in \mathbb{N},\) soient \(a_0,\ldots,a_n\) des nombres réels de même si ...
exo7 180
Quels sont les entiers \(n\) \(\)tels que ...
exo7 182
Soit \(f:\Nn^{*}\rightarrow \Nn^{*}\) une application vérifiant : ...
exo7 234
Soient \(0 \leq p \leq n\).
exo7 241
Soient \(A\) et \(B\) deux sous ensembles finis d’un ensemble ...
exo7 244
Montrer par récurrence sur \(n\) que si ...
exo7 2452
Calculer par récurrence le déterminant ...
exo7 270
Pour tout couple de nombres réels \((x,y)\) montrer, par récurrence, que pour tout ...
exo7 2916
Soient \(A_1, \dots, A_n\) \(n\) ensembles finis, et ...
exo7 3055
Soit \(n \in \N^*\). Montrer qu’il existe \(p \in \N\) et ...
exo7 3060
Soit \(f : {\N} \to {\N}\) telle que : ...
exo7 3147
Soit \(x\in\Q\), \(0<x<1\). On définit une suite ...
exo7 487
Démontrer par récurrence sur \(n\) que pour tout \(n\geq 2\) l’implication ...
exo7 5108
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\Nn^*\), ...
exo7 5109
Montrer par récurrence que, pour tout naturel non nul \(n\), ...
exo7 5209
Montrer que les nombres suivants sont irrationnels.
exo7 5241
Montrer que, pour \(n\geq2\),
...
exo7 5289
On donne \(n\) droites du plan. On suppose qu’il n’en existe pas deux qui soient parallèles, ni trois qui soient c ...
exo7 5302
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) la suite définie par \(u_0=0\), ...