Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
b) Racines et factorisation.
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Racines réelles (ou zéros réels) d’un polynôme. Un nombre réel $\alpha \in \mathbb{R}$ est racine d’un polynôme $P$ si et seulement s’il existe un polynôme $Q$ tel que $P(x) = (x - \alpha)Q(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. | La division euclidienne des polynômes ainsi que la factorisation des polynômes réels en produit de polynômes irréductibles sur $\mathbb{R}$ sont hors programme. |
Généralisation à plusieurs racines distinctes. Le nombre de racines distinctes d’un polynôme non nul est majoré par son degré. Tout polynôme de degré impair a au moins une racine réelle. Un polynôme de degré $n \in \mathbb{N}^*$ possédant $n$ racines distinctes s’écrit sous la forme $P : x \mapsto a_n(x - \alpha_1)\cdots(x - \alpha_n)$. | On pourra illustrer avec des exemples de polynômes réels sans racines réelles, ou à l’opposé de polynômes totalement décomposés sur $\mathbb{R}$. |
exo7 7310
L’équation \(x^3 + x + 1 = 0\) a-t-elle des solutions dans \(\Z/2\Z\).
exo7 7318
Soit \(K\) un corps, et \(P \in K[X]\). Les assertions suivantes sont elles vraie ...
exo7 7322
Soit \(P = a_0 + a_1X + \cdots + a_nX^n \in \Z[X]\). On veut déterminer si \(P\) ...
exo7 7333
Soit \(p=13\). Trouver une racine \(c\) de ...
exo7 7340
Le but de l’exercice est de factoriser le polynôme \(x^4 + 4x^3 - 81x^2 -16x + 308\).
exo7 7342
Le but de l’exercice est de déterminer une valeur approchée de la racine cubique réelle \(c\) de ...
exo7 7379
Calculer, avec l’algorithme de Hörner appliqué au polynôme \(P(x)=x^2-7\), une valeur approchée à ...
exo7 7820
Montrer que le polynôme quadratique à coefficients complexes avec \(a\not =0\) ...
exo7 922
Soit \(E = \R[X]\) l’espace vectoriel des polynômes. On définit ...
Factorisation d'un polynôme
Soient les polynômes \(P,Q \in \R[X]\) définis par ...
Factorisation de polynôme et décomposition en éléments simples
On pose le polynôme \[Q(X)=X^3-(\sqrt{2}+5)X^2+(1+5\sqrt{2})X-5.\]
Multiplicité d'une racine
Déterminer l’ordre de multiplicité de la racine 1 du polynôme \[P(X)=X^5-5 X^4+14 X^3-22 X^2+17 X-5\]
En d ...
Multiplicité d'une racine et factorisation d'un polynôme
Déterminer l’ordre de multiplicité de la racine \(x_0\) du polynôme \(P\), et en ...
Multiplicité et factorisation
Soient \(a\) et \(b\) des nombres réels. Déterminer tous les polynômes de ...
Polynômes et décomposition en facteurs irréductibles
L’enjeu de cet exercice est la factorisation du polynôme \(R(X)=X^9+X^6+X^3+1\).
Reste de division euclidienne
On cherche, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), le reste de la division euclidienne du polynôme ...