Programme de mathématiques BCPST, seconde année
Analyse 2 – Intégrales généralisées
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Convergence d’une intégrale généralisée (ou impropre) d’une fonction continue sur un intervalle $I$ semi-ouvert ou ouvert. | La convergence est traduite en termes de limites portant sur une primitive. La terminologie de « fonction intégrable » n’est pas donnée. Les notations $\int_I f$, $\int_I f(t)\,\mathrm{d}t$, $\int_a^b f$, $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ pourront, selon le contexte, désigner l’intégrale généralisée ou sa valeur. |
Cas d’une fonction définie sur un intervalle et continue sur cet intervalle sauf éventuellement en un nombre fini de points. | Cas particulier d’une fonction prolongeable par continuité en un point. |
Propriétés des intégrales convergentes : linéarité, relation de Chasles, positivité, stricte positivité ($f$ positive non nulle), croissance. | La démonstration de la stricte positivité n’est pas exigible. |
Adaptation de l’intégration par parties aux intégrales généralisées. | On souligne la nécessité de confirmer la convergence de tous les termes apparaissant dans une telle formule. |
Adaptation de la formule de changement de variable pour les intégrales généralisées. | Si la fonction $\varphi$ est de classe $\mathscr{C}^1$ et strictement monotone sur un intervalle d’extrémités $a$ et $b$ ayant des limites $\alpha=\lim_a\varphi$ et $\beta=\lim_b\varphi$ et si $f$ est continue sur l’intervalle d’extrémités $\alpha$ et $\beta$, alors les intégrales $\int_\alpha^\beta f(x)\,\mathrm{d}x$ et $\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\mathrm{d}t$ sont de même nature, et ont la même valeur lorsqu’elles convergent. |
Cas des fonctions paires ou impaires. | |
Théorèmes de convergence pour deux fonctions positives $f$ et $g$ : • théorème par comparaison si $f\leq g$, | Tout autre critère de convergence est hors programme. |
• si $f(x)\underset{x\to b}{\sim}g(x)$, alors les intégrales généralisées en $b$ $\int_a^b f$ et $\int_a^b g$ sont de même nature. | Tout résultat sur la nature des intégrales de Riemann devra être démontré. |
Convergence absolue d’une intégrale généralisée. | La convergence absolue est présentée comme une condition suffisante pour obtenir la convergence de l’intégrale. Les intégrales semi-convergentes sont hors programme. |
L’intégrale $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x$ converge et vaut $\sqrt{2\pi}$. | La valeur de cette intégrale est un résultat admis. |
exo7 4274
Soit \((a_k)\) une suite de réels telle que \(\sum_{k=0}^n a_k = 0\). Étudier la ...
exo7 4275
Existence et calcul de \(f(x) = \int_0^\pi\frac{dt}{1-x\cos t}\).
exo7 4276
Convergence et calcul de \(\int_{t=0}^{+\infty}\frac{t\,d t}{\sh t}\) (on pourra décomposer l’intégrande en somme ...
exo7 4278
Soit \(\alpha \in\, ]0,\pi[\) et ...
exo7 4279
Calculer par récurrence : \(I_n = \int_{t=0}^1 \frac{t^n\,d t}{\sqrt[4]{t^3(1-t)}}\).
exo7 4281
A l’aide d’une intégration par parties, montrer que ...
exo7 4282
Soit \(f:\R \to \R\) continue, périodique de période \(T > 0\). On note ...
exo7 4283
Soit \(f\) une application continue de \([1,+\infty[\) dans ...
exo7 4285
Calculer \(\int_{t=1}^{+\infty} \frac{t-[t]}{t^2} \,d t\) en fonction de la constante d’Euler.
exo7 4286
Soit \(\gamma\) la constante d’Euler. Montrer que …
exo7 4287
Soit \(f : {[a,b[} \to {\R^+}\) continue croissante. On pose ...
exo7 4288
Calculer ...
exo7 4289
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue décroissante telle que ...
exo7 4290
Soit \(f : {\R^+} \to \R\). On pose, sous réserve de convergence, ...
exo7 4291
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R^+}\) continue telle que ...
exo7 4292
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) vérifiant ...
exo7 4293
Soit \(f : {[1,+\infty[} \to {\R^+}\) une fonction décroissante telle que ...
exo7 4294
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R^+\) une fonction continue telle que ...
exo7 4295
Soit \(f : {]0,{+\infty}[} \to \R\) une fonction continue telle que ...
exo7 4296
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) continue ayant une limite finie en \(+\infty\). Mo ...
exo7 4297
Soit \(f:\R \to \R\) continue par morceaux telle que ...
exo7 4298
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que ...
exo7 4299
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R}\) uniformément continue telle que ...
exo7 4300
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que ...
exo7 4301
On pose \(f(x) = \int_{t=x}^{+\infty} \frac{e^{-t}}t \,d t\).
exo7 4302
Montrer que pour \(0 \le x \le \sqrt n\) on a : ...
exo7 4303
On admet que \(\int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\,d t =\frac{\sqrt\pi}2\). Calculer les intégrales : ...
exo7 4304
Nature et calcul de \(\int_{x=0}^{+\infty} \exp\Bigl(-\bigl(x-\frac 1x\bigr)^2\Bigr)\,d x\) ?
exo7 4305
Existence de \(\int_{x=0}^{+\infty} \sin(x^4+x^2+x)\,d x\).
exo7 4306
Soit \(P\) un polynôme à coefficients réels de degré supérieur ou égal à 2. Montrer que ...
exo7 4307
Soient \(I = \int_{u=0}^{+\infty} \frac{d u}{(1+u^2)(1+u^n)}\) et ...
exo7 4308
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que ...
exo7 4309
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) de classe \(\mathcal{C}^1\), intégrable.
exo7 4310
Établir la convergence et calculer la valeur de ...
exo7 4311
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur ...
exo7 4312
Donnez un équivalent pour \(x\to+\infty\) de ...
exo7 4316
Chercher \(\lim_{x\to0^+} \int_{t=x}^{x^2} \frac{e^{-t}\,d t}{\sin t\ln t}\).
exo7 4317
Établir la convergence et calculer la somme de \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+t^3)^n}\). ...
exo7 4318
Prouver l’existence pour \(x > 0\) de ...
exo7 4320
Donner un équivalent pour \(x\to+\infty\) de ...
exo7 4330
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Déterminer ...
exo7 4331
Soit \(x\in{[0,n]}\). Montrer que \((1-x/n)^n \le e^{-x}\). En déduire ...
exo7 4334
Chercher \(\lim_{n\to\infty} \int_0^1\frac{t^n-t^{2n}}{1-t}\,d t\).
exo7 4335
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue atteignant son maximum en un unique point ...
exo7 4338
Soient \(f,g\in\mathcal{C}([0,+\infty[,\R)\). On pose ...
exo7 4341
Soit \(I(\alpha) = \int_{x=0}^{+\infty} \frac{x^{\alpha-1}}{1+x}\,d x\). Montrer que ...
exo7 4344
On considère les fonctions définies par : \(f(x) = \left({ \int_{t=0}^x e^{-t^2}\,d t}\right)^2\) et ...
exo7 4345
On donne : \(\int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\,d t =\frac{\sqrt\pi}2\). Existence et valeur de ...
exo7 4347
On pose, pour \(x\) réel, ...
exo7 4353
Soit \(I(\alpha) = \int_{x=0}^{+\infty} \frac{\sin\alpha x}{e^x-1}\,d x\).