Programme de mathématiques BCPST, seconde année
Analyse 1 – Séries réelles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Sommes partielles, convergence d’une série, somme d’une série convergente. | La série est notée $\sum\limits_{n\geq n_0} u_n$ ou plus succinctement $\sum u_n$. En cas de convergence, la somme de la série est notée $\sum\limits_{n=n_0}^{+\infty} u_n$. La terminologie de « famille sommable » n’est pas donnée. La notion de reste d’une série est hors programme. |
Combinaison linéaire de séries convergentes. | |
Thèorèmes de convergence pour deux séries à termes positifs $u_n$ et $v_n$ : • théorème de comparaison si $u_n\leq v_n$ à partir d’un certain rang, | Tout autre critère de convergence est hors programme. |
• si $u_n\sim v_n$, alors les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature. | Les résultats relatifs aux restes et sommes partielles sont hors programme. |
Convergence et somme de la série géométrique $\sum\limits_{n\geq 0} q^n$ (pour $\lvert q\rvert<1$) et des séries « dérivées » $\sum\limits_{n\geq 1} nq^{n-1}$ et $\sum\limits_{n\geq 2} n(n-1)q^{n-2}$. | |
Convergence et somme de la série exponentielle $\sum\limits_{n\geq 0}\dfrac{x^n}{n!}$. | Résultat admis. |
Convergence de $\sum\limits_{n\geq 1}\dfrac{1}{n^2}$ et divergence de $\sum\limits_{n\geq 1}\dfrac{1}{n}$. | L’étude générale des séries de Riemann est hors programme. |
Convergence absolue. | La convergence absolue est présentée comme une condition suffisante pour obtenir la convergence de la série. En vue des applications probabilistes, on admet que la valeur de la somme d’une série absolument convergente ne dépend pas de l’ordre d’énumération de ses termes. L’étude de séries semi-convergentes est hors programme. |
Séries de même nature via un équivalent
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs et soit ...
Séries de signe non constant
Quelle est la nature de la série \(\displaystyle\sum_{n\geq 1} \frac{(-1)^n}{n}\) ?
Séries divergentes
En examinant la limite du terme général, montrer que les séries suivantes divergent :
Séries à termes réels positifs
Étudier la convergence des séries \(\sum u_n\) suivantes:
Variations autour de la série harmonique
Calculer \(\displaystyle \sum_{n=1}^{k} \left(\ln(n+1)-\ln(n)\right)\) pour tout ...
Vrai ou faux ?
Répondre par vrai ou faux. Aucune justification n’est demandée mais une mauvaise réponse entraîne une pénalité de points.
Étude d'une suite récurrente et de son équivalent
Soit \(a\) un réel strictement positif et \(u_1\) un réel strictement positif. On ...
Étude d'une série à termes positifs
Soit la suite \((u_n)\) définie par : ...
Étude de la nature d'une série
Prouver qu’un équivalent de \(e^{x^2}-\cos(x)\) au voisinage de \(0\) est ...
Étude de séries numériques (1)
Dans chacun des cas, dire si la série de terme général \(u_n\) est absolument convergente, semi-convergente, diver ...
Étude de séries numériques (2)
Dans chacun des cas, dire si la série de terme général \(u_n\) est absolument convergente, semi-convergente, diver ...
Étude de séries à termes positifs
Pour chacune des séries suivantes, déterminer si elle converge ou diverge.
Étude d’une famille de séries à l’aide d’une rationalisation
Pour tout \(\beta\in\mathbb{R}\), on considère la suite définie pour tout ...