Programme de mathématiques MP, MPI
b) Intégrabilité sur un intervalle de la forme $[a,+\infty[$
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Une fonction $f$ est dite intégrable sur $[a,+\infty[$ si elle est continue par morceaux sur $[a,+\infty[$ et si $\displaystyle\int_a^{+\infty}\lvert f\rvert$ converge. | On utilise indifféremment les expressions « $f$ est intégrable sur $[a,+\infty[$ » et « l’intégrale $\displaystyle\int_a^{+\infty}f$ converge absolument ». Pour $f$ de signe constant, $\displaystyle\int_a^{+\infty}f$ converge si et seulement si $f$ est intégrable sur $[a,+\infty[$. Un calcul montrant que $\displaystyle\int_I\lvert f\rvert<+\infty$ vaut preuve d’intégrabilité. |
Si $f$ est intégrable sur $[a,+\infty[$, alors $\displaystyle\int_a^{+\infty}f$ converge. | Fonction intégrable en $+\infty$. L’étude des intégrales semi-convergentes n’est pas un objectif du programme. |
Théorème de comparaison : pour $f$ et $g$ deux fonctions continues par morceaux sur $[a,+\infty[$, à valeurs dans $\mathbb{K}$ : – si $f(x)\underset{x\to+\infty}{=}O\big(g(x)\big)$, alors l’intégrabilité de $g$ sur $[a,+\infty[$ implique celle de $f$ ; – si $f(x)\underset{x\to+\infty}{\sim}g(x)$, alors l’intégrabilité de $g$ sur $[a,+\infty[$ équivaut à celle de $f$. | Le résultat s’applique en particulier si $f(x)\underset{x\to+\infty}{=}o(g(x))$. |
Changement de variable, intégration par parties et intégrale impropre
On rappelle que \(\sin^3 t = \sin t\,(1 - \cos^2 t)\).
exo7 1282
Étude de : \[f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}\] ...
exo7 1284
Soit \(f\) une application continue de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1286
Donner un exemple d’une fonction continue positive telle que : \[\int_{0}^{\infty }f(u)du\] existe mais telle qu’ ...
exo7 1287
Soit \(f\) une fonction positive décroissante de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1288
Soit \(f\) une application continue par morceaux de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1289
Soit \(f\) une application continue de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1290
Étudier la nature de \[\int_{0}^{\infty }\frac{\sin t}{t^{\alpha }}dt\] selon ...
exo7 1292
Soit \(f:[1,\infty [\rightarrow {\Rr}^{+}\) continue telle que ...
exo7 1295
Montrer que si \(f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}\) est uniformément continue, alors ...
exo7 1298
Convergence et calcul de : ...
exo7 1300
Soit \(f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}\) continue, tendant vers \(\ell\) en ...
exo7 1302
Soit \(f\in C({\Rr},{\Rr})\) telle que \(\int_{-\infty }^{\infty }f\) existe, mon ...
exo7 2084
Les fonctions suivantes sont-elles intégrables au sens de Riemann?
exo7 2331
Sans les calculer, dire si les intégrales suivantes sont convergentes ou divergentes : ...
exo7 2337
Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(\left[0,1\right[\) par ...
exo7 2338
Dire si les intégrales suivantes sont convergentes (en discutant éventuellement suivant la valeur des paramètres) : ...
exo7 2339
Montrer la convergence des intégrales suivantes puis les calculer : ...
exo7 4063
Soit \(E=\mathcal{C}(\R^+,\R)\), \(b\in \R\) et ...
exo7 4239
Calculer pour tout \(n \in \N^*\) : ...
exo7 4268
\(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ d t}{e^t+t^2e^{-t}}\) (cv)
...
exo7 4278
Soit \(\alpha \in\, ]0,\pi[\) et ...
exo7 4282
Soit \(f:\R \to \R\) continue, périodique de période \(T > 0\). On note ...
exo7 4283
Soit \(f\) une application continue de \([1,+\infty[\) dans ...
exo7 4285
Calculer \(\int_{t=1}^{+\infty} \frac{t-[t]}{t^2} \,d t\) en fonction de la constante d’Euler.
exo7 4286
Soit \(\gamma\) la constante d’Euler. Montrer que …
exo7 4287
Soit \(f : {[a,b[} \to {\R^+}\) continue croissante. On pose ...
exo7 4290
Soit \(f : {\R^+} \to \R\). On pose, sous réserve de convergence, ...
exo7 4291
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R^+}\) continue telle que ...
exo7 4292
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) vérifiant ...
exo7 4293
Soit \(f : {[1,+\infty[} \to {\R^+}\) une fonction décroissante telle que ...
exo7 4294
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R^+\) une fonction continue telle que ...
exo7 4295
Soit \(f : {]0,{+\infty}[} \to \R\) une fonction continue telle que ...
exo7 4296
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) continue ayant une limite finie en \(+\infty\). Mo ...
exo7 4297
Soit \(f:\R \to \R\) continue par morceaux telle que ...
exo7 4298
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que ...
exo7 4299
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R}\) uniformément continue telle que ...
exo7 4301
On pose \(f(x) = \int_{t=x}^{+\infty} \frac{e^{-t}}t \,d t\).
exo7 4304
Nature et calcul de \(\int_{x=0}^{+\infty} \exp\Bigl(-\bigl(x-\frac 1x\bigr)^2\Bigr)\,d x\) ?
exo7 4305
Existence de \(\int_{x=0}^{+\infty} \sin(x^4+x^2+x)\,d x\).
exo7 4309
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) de classe \(\mathcal{C}^1\), intégrable.
exo7 4310
Établir la convergence et calculer la valeur de ...
exo7 4311
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur ...
exo7 4318
Prouver l’existence pour \(x > 0\) de ...
exo7 4338
Soient \(f,g\in\mathcal{C}([0,+\infty[,\R)\). On pose ...
exo7 4341
Soit \(I(\alpha) = \int_{x=0}^{+\infty} \frac{x^{\alpha-1}}{1+x}\,d x\). Montrer que ...
exo7 4344
On considère les fonctions définies par : \(f(x) = \left({ \int_{t=0}^x e^{-t^2}\,d t}\right)^2\) et ...
exo7 4347
On pose, pour \(x\) réel, ...
exo7 4353
Soit \(I(\alpha) = \int_{x=0}^{+\infty} \frac{\sin\alpha x}{e^x-1}\,d x\).
exo7 4358
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que ...