Programme de mathématiques MP, MPI
a) Compléments d’algèbre linéaire
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Somme, somme directe d’une famille finie de sous-espaces vectoriels. | Projecteurs associés à une décomposition de $E$ en somme directe. |
Si $F_1,\dots,F_p$ sont des sous-espaces de dimension finie, $\displaystyle \dim\Big(\sum_{i=1}^{p}F_i\Big)\leqslant\sum_{i=1}^{p}\dim(F_i)$ avec égalité si et seulement si la somme est directe. | Base adaptée à une décomposition en somme directe. |
Si $E_1,\dots,E_p$ sont des sous-espaces de $E$ tels que $E=\bigoplus E_i$ et si $u_i\in\mathscr{L}(E_i,F)$ pour tout $i$, alors il existe une et une seule $u\in\mathscr{L}(E,F)$ telle que $u_{\vert E_i}=u_i$ pour tout $i$. | |
Matrices définies par blocs. | Interprétation géométrique des blocs. |
Opérations par blocs de tailles compatibles (combinaison linéaire, produit, transposition). | La démonstration concernant le produit par blocs n’est pas exigible. Transvections par blocs. Invariance du déterminant. |
Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs. |
exo7 1038
Soit \(f\in L(E)\) où \(E\) est un \({K}\)-espac ...
exo7 1575
Soit \(P\in \C [X]\) tel que \(P(0)=0\) et ...
exo7 1605
On considère les matrices suivantes : ...
exo7 1628
Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes diagonalisables de ...
exo7 1689
Soit \(f\) l’endomorphisme de l’espace vectoriel canonique \(\Rr^3\) dont la matr ...
exo7 1723
Soit le \(\Rr\)-espace vectoriel ...
exo7 3365
Soient \(A_1 \in \mathcal{M}_{n,p_1}(K)\), \(A_2 \in \mathcal{M}_{n,p_2}(K)\), ...
exo7 3564
Soient \(A,B,C\in\mathcal{M}_n(\C)\) telles que \(AC = CB\) et ...
exo7 3603
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension \(n\) et ...
exo7 3653
Soient \(F_1\), \(F_2\), \(F_3\) trois sev de ...
exo7 3654
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\) ...
exo7 3655
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie, ...
exo7 3656
Soit \(E\) un \(K\)-ev, \(E_1,\dots,E_n\) des se ...
exo7 3657
Soit \(E\) un \(K\)-ev, \(E_1,\dots,E_n\) des se ...
exo7 3658
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 5273
Calculs par blocs.
exo7 5577
Soient \(F_1\), \(F_2\),..., ...
exo7 5591
Soient \(p_1\),..., \(p_n\) ...
exo7 5592
Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace de dimension finie ...
exo7 925
Soient \(U, V, W\) des s.e.v. d’un e.v. \(E\), vérifiant ...