Programme de mathématiques MP, MPI
b) Éléments propres d’un endomorphisme, d’une matrice carrée
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Sous-espace stable par un endomorphisme. Endomorphisme induit. | En dimension finie, traduction matricielle. |
Droite stable par un endomorphisme. Valeur propre, vecteur propre (non nul), sous-espace propre. | Équation aux éléments propres $u(x)=\lambda x$. |
Spectre d’un endomorphisme en dimension finie. | La notion de valeur spectrale est hors programme. |
La somme d’une famille finie de sous-espaces propres d’un endomorphisme est directe. | Toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre. |
Le spectre d’un endomorphisme d’un espace de dimension finie $n$ est fini, et de cardinal au plus $n$. | |
Si deux endomorphismes $u$ et $v$ commutent, tout sous-espace propre de $u$ est stable par $v$. | Le noyau et l’image de $u$ sont stables par $v$. |
Valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre et spectre d’une matrice carrée. | Équation aux éléments propres $MX=\lambda X$. Deux matrices semblables ont même spectre. Si $\mathbb{K}$ est un sous-corps de $\mathbb{K}'$ et si $M\in\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$, le spectre de $M$ dans $\mathbb{K}$ est contenu dans le spectre de $M$ dans $\mathbb{K}'$. |
exo7 3520
Soit \(E\) le sous-espace vectoriel de \(\mathcal{C}(\R^+,\R)\) des fonctions aya ...
exo7 3521
Soit \(E = \mathcal{C}([0,+\infty[ \to\R)\) et ...
exo7 3522
Soit \(E\) l’espace vectoriel des suites réelles \(u=(u_n)_{n\ge 1}\) et ...
exo7 3523
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) et \(f : E \to E, u {\tilde u}\) avec ...
exo7 3525
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et \(\lambda \in K\) une valeur propre de ...
exo7 3527
Soit \(A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(a_{ij} = \frac ij\). ...
exo7 3530
On considère la matrice de \(M_n(\C)\), ...
exo7 3534
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que ...
exo7 3535
Soient \(A,B\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer l’équivalence entre :
(a) : ...
exo7 3537
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\).
exo7 3541
Donner une CNS sur \(a,b\in\C\) pour que la matrice ...
exo7 3542
Trouver les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que \(A^2 = A\) et ...
exo7 3543
Soient \(E\) un ev de dimension finie sur \(\C\) et ...
exo7 3545
Soit \(E = K_n[X]\) et \(u : E \to E, P \mapsto {X^nP(1/X).}\)
exo7 3547
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\) tel que ...
exo7 3550
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 3551
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^3 = A + I\). Montrer que ...
exo7 3552
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^3 + A^2 + A = 0\). Montrer que ...
exo7 3557
Soit \(E\) un \(\C\)-ev de dimension ...
exo7 3558
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(u\in \mathcal{L}(E)\) tel que ...
exo7 3559
Soit \(M \in \mathcal{M}_{3}(\R)\) telle que \(M \ne I\), et ...
exo7 3560
Soient \(u,v,h\) trois endomorphismes de \(\R^n\) tels que : ...
exo7 3567
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\). Déterminer les scalaires \(\lambda\) et les matr ...
exo7 3568
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(u\in\mathcal{L}(E)\). On c ...
exo7 3570
Soit \(p \in \mathcal{L}(E)\) une projection et ...
exo7 3571
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3575
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) finie, ...
exo7 3578
Soit ...
exo7 3580
Quelles sont les matrices \(A \in \mathcal{M}_{3}(\C)\) telles que \(A^3\) est se ...
exo7 3583
Soit \(f\in\mathcal{L}(\R^3)\) telle que \(\mathrm{Spec}(f) = \{\lambda\}\) et ...
exo7 3585
Soit \(A=\begin{pmatrix}-1&2&1\cr2&-1&-1\cr-4&4&3\cr\end{pmatrix}\).
exo7 3586
Soit \(A \in \mathcal{M}_{3}(\R)\) ayant pour valeurs propres \(1,-2,2\), et ...
exo7 3590
Soit \(D = \text{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\) une matrice diagonale à valeurs propres distinctes.
exo7 3591
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 &1 \cr 1 &1 \cr \end{pmatrix}\).
exo7 3592
Soit \(A = \begin{pmatrix} 9 &0 &0 \cr 1 &4 &0 \cr 1 &1 &1 \cr \end{pmatrix}\). Trouver le ...
exo7 3593
Soit ...
exo7 3594
Trouver le commutant de \(\begin{pmatrix}2&-2&1\\ 2&-3&2\\ 1&2&0\end{pmatrix}\).
exo7 3595
Si \(A\in M_n(\C)\), on note \(C(A)\) le commutant de ...
exo7 3596
En se déplaçant uniquement sur les arêtes d’un cube de côté 1, combien y a-t-il de chemins de longueur \(n\) pour ...
exo7 3597
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3599
Soit \(A \in GL_n(\C)\) et ...
exo7 3602
Soit ...
exo7 3604
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3609
Soit \(E\) un \(\C\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3610
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) et \(\lambda = a+ib\) une valeur propre non réel ...
exo7 3611
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3612
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 &1 &\phantom-0 \cr -3 &-2 &0 \cr 0 &0 &1 \cr \end{pmatrix}\). ...
exo7 3613
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3614
Soit \(E = \R^3\) et \(H:x+2y+3z=1\) un plan affine de ...
exo7 3615
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) un endomorphisme cyclique et \(F\) un sous-espace v ...