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Montrer que dans \(\Z[i]\) \(3\) est premier et 2 ne l’est pas.

Soit \(A\) un anneau commutatif et soit ...

Résoudre les congruences simultanées suivantes :

Pour les anneaux de polynômes sur un corps \(F\) montrer que ...

Utiliser l’algorithme d’Euclide dans \(\Q[X]\) pour exprimer le pgcd demandé sous forme de combinaison linéaire de ...

Montrer que tout monomorphisme \(A\to A'\) d’anneaux intègres engendre un monomorphisme des corps des fraction ...

Soit \(a\in \Z\) un nombre sans facteurs carrés, \(a\not\in \{ -1,\; 0,\; 1\}\). ...

Montrer que le polynôme \(X^2-1\) a quatre zéros dans \(\Z /15\Z\). Est-ce que ce ...

Montrer que \(X^2+1\) est irréductible en tant qu’élément de \(\Q[X]\) mais réduc ...

Si \(\mathbb{F}\) est un corps, montrer qu’un polynôme \(P\) de degré 2 ou 3 dans ...

Lesquels parmi les polynômes suivants sont irréductibles dans \(\Q[X]\) ?

...

Soit \(p\in \N^*\) un nombre premier. Montrer que les polynômes ...

Soit \(D\) un anneau intègre fini contenant \(n\) éléments distincts ...

Soit \(A\) un anneau commutatif. Montrer l’équivalence des deux affirmations suivantes :

Calculer la dérivée du polynôme \((3X^2+2X-4)(4X^3-2X+3)\in \mathbb{F}_5 [X]\).

Montrer que si \(A[X]\) est principal, alors \(A\) est principal.

Soit \(K\) un corps et soit \(K(X)\) le corps des fractions de l’anneau ...

Montrer que si \(K\) est un corps de caractéristique différente de \(2\) alors ...

Soit \((G,\star)\) un groupe. Donner la définition du sous-groupe engendré par une partie ...

Dire si les couples suivants sont des groupes : \((\Z,+)\) ; \((\Z,\times)\) ; ...

Soit \(H\) un sous-groupe de \((\Z,+)\) contenant ...

Soit \(a\) et \(b\) deux entiers non tous nuls et ...

Déterminer \(45\Z \cap 60\Z\).

Ecrire les tables d’opération dans l’anneau \(\Z/6\Z\).

Montrer que \(\Z \times \Z\) peut être muni d’une structure naturelle d’anneau.

Déterminer l’ordre de \(\overline{2}\) dans \((\Z/10\Z,+)\).

Soit \(m\) et \(n\) deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. On a vu co ...

Le but de cet exercice est de déterminer tous les morphismes d’anneaux de \(\Z/10\Z\) dans un ...

Soit \(p\) un nombre premier impair. Quels éléments de \((\Z/p\Z)^\times\) sont l ...

Dans l’anneau \(\Z /3 \Z\), calculer \((a+b)^3\) où ...

\(20606\) appartient-il à \(14443 + 3079 \Z\) ?

Soient \(P=X^3-1\) et \(Q = X^2-3X+2\) des éléments de ...

Soit \(K\) un corps, et \(P \in K[X]\). Les assertions suivantes sont elles vraie ...

Montrer que \(X^2 + 4\) est irréductible dans \(\Z[X]\) mais réductible dans ...

Donner la définition d’un groupe.

L’entier \(51606\) appartient-il à \(2569 + 247\Z\) ?

On note \(\mathbb{F}_{11}\) le corps fini \(\Z/11\Z\). Considérons le groupe ...

Déterminer la liste des inversibles de \(\Z/15\Z\). Déterminer l’ordre de chaque élément dans ...

Le polynôme \((X^2+X+1)^3\) est-il irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\) ?

Le polynôme \(X^2+1\) est-il irréductible dans \(\mathbb{F}_3[X]\) ?

Montrer que le polynôme \(X^3+X+1\) est irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\). ...

Considérons l’anneau \(\Z[i\sqrt{3}]\), le sous-anneaux de \(\C\) engendré par ...

La compléter.

Considérons le groupe \(\displaystyle\left(\mathbb{F}_{53} \right)^\times\). Quels sont les ordres possibles d’un ...

Montrer que le polynôme \(X^9-1\) de \(\mathbb{F}_3[X]\) vaut ...

Alice et Bernard décident d’utiliser l’algorithme d’El Gamal. Il utilise le corps \(\mathbb{F}_{19}\) avec l’éléme ...

Considérons le groupe \((\Zz , +)\). Le sous-ensemble \(4\Zz\) est par définition ...

Montrer que tout groupe cyclique d’ordre \(n\) est isomorphe à \(\Z/n\Z\).

Montrer que les deux permutations \(\tau=(1,2)\) et \(c=(1,2,3)\) engendrent le g ...

Montrer que le groupe \(GL_2(\mathbb{F}_2)\) des matrices inversibles de taille ...