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Montrer que \(\Q /\Z\) est un groupe abélien infini dont tout élément est d’ordre fini. En déduire qu’il ne peut p ...

Soit \(G\) un groupe fini abélien. Montrer que pour tout diviseur \(d\) de ...

Trouver les invariants et la décomposition canonique du groupe abélien fini dont les diviseurs élémentaires (appellées aussi invariants p ...

Soit \((G,\star)\) un groupe. Donner la définition du sous-groupe engendré par une partie ...

Dire si les couples suivants sont des groupes : \((\Z,+)\) ; \((\Z,\times)\) ; ...

Soit \(H\) un sous-groupe de \((\Z,+)\) contenant ...

Soit \(a\) et \(b\) deux entiers non tous nuls et ...

Déterminer \(45\Z \cap 60\Z\).

Ecrire les tables d’opération dans l’anneau \(\Z/6\Z\).

Déterminer l’ordre de \(\overline{2}\) dans \((\Z/10\Z,+)\).

Le but de cet exercice est de déterminer tous les morphismes d’anneaux de \(\Z/10\Z\) dans un ...

On note \(\mathbb{F}_{11}\) le corps fini \(\Z/11\Z\). Considérons le groupe ...

La compléter.

Considérons le groupe \(\displaystyle\left(\mathbb{F}_{53} \right)^\times\). Quels sont les ordres possibles d’un ...

Considérons le groupe \((\Zz , +)\). Le sous-ensemble \(4\Zz\) est par définition ...

Montrer que tout groupe cyclique d’ordre \(n\) est isomorphe à \(\Z/n\Z\).

Montrer que les deux permutations \(\tau=(1,2)\) et \(c=(1,2,3)\) engendrent le g ...

Montrer que le groupe \(GL_2(\mathbb{F}_2)\) des matrices inversibles de taille ...

Enoncer le théorème de Lagrange.

Montrer que \(1\) est dans le sous-groupe de \((\Z,+)\) engendré par ...

Le sous-ensemble \(28\Z+18\Z\) de \(\Z\) est-il un sous-groupe de ...

Quels sont les ordres possibles des éléments d’un groupe d’ordre \(6\) ?

Dans le groupe \(\mathcal{S}_7\) des permutations de l’ensemble fini ...

Quels sont les éléments inversibles de l’anneau \((\Z/11\Z)\) ?

Soit \(G\) un groupe, \(e\) son élément neutre et ...

Voici la table d’un groupe \(G\). Quel est l’ordre de \(G\) ? Le groupe ...

Quelle loi fait de l’ensemble de inversibles de l’anneau \(\Z/17\Z\) un groupe ? Ce groupe est-il cyclique ?

Combien l’anneau \(\Z/24\Z\) a-t-il d’éléments inversibles ?

Sur le cercle unité, on a marqué les éléments du groupe des racines de l’unité d’ordre \(8\). Soit ...

Donner un isomorphisme entre \(\Z/24\Z\) et un groupe produit.

Voici la table d’un groupe \(G\). Quel est l’ordre de \(G\) ? Le groupe ...

Quels sont les ordres possibles des éléments de \(\left((F_{19})^\times ,\times\right)\) ?

Rappeler la liste à isomorphisme près des groupes d’ordre \(4\).

Considérons le groupe \(\displaystyle\left(\mathbb{F}_{41} \right)^\times\). Quels sont les ordres possibles d’un ...

Enoncer le théorème de Lagrange.

Les groupes \(\Z/9\Z\) et \(\Z/3\Z\times \Z/3\Z\) sont-ils isomorphes ?

Alice et Bernard décident d’utiliser l’algorithme d’El Gamal. Il utilise le corps \(\mathbb{F}_{13}\) avec l’éléme ...

Énoncer le théorème de Lagrange.

Montrer que \(1\) est dans le sous-groupe de \((\Z,+)\) engendré par ...

Soit \(G\) un groupe fini. Soit \(p\) le plus petit facteur premier de l’ordre de ...

Soit \(G\) un groupe et \(f~:G\to A\) un morphisme de groupes de ...

Le groupe symétrique \(\mathcal{S}_5\) a-t-il un élément d’ordre \(6\) ?

Montrer qu’un groupe d’ordre \(p^3q\) (avec \(p\) premier et ...

Si \(c\) est le cycle \((1,2,3,4,5,6)\), \(c^2\) ...

Soit \(G\) le sous-groupe de \(\mathcal{S}_7\) engendré par ...

Soit \(G\) un groupe, \(a\) et \(b\) deux élémen ...

Combien le groupe \(\mathcal{A}_5\) a-t-il d’éléments d’ordre \(3\) ?

Le groupe \(\mathcal{S}_n\) est-il simple ?

Soit \(D_8\) le groupe des isométries du carré. Déterminer un morphisme injectif de groupes de ...