Programme de mathématiques MP, MPI
Topologie des espaces vectoriels normés
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- introduire, dans le cadre des espaces vectoriels normés, le vocabulaire de la topologie ;
- donner, à travers l’étude des espaces vectoriels normés de dimension finie, un cadre commode pour traiter diverses applications à l’analyse (fonctions vectorielles, équations différentielles linéaires) ;
- introduire la notion de partie compacte dans un espace vectoriel normé, en soulignant le rôle qu’elle joue dans les résultats d’existence, notamment en matière d’optimisation ;
- introduire la notion de composante connexe par arcs d’un espace vectoriel normé, qui permet de généraliser le théorème des valeurs intermédiaires et intervient en calcul différentiel ;
- dégager l’idée fondamentale d’inégalité linéaire, qui apparaît lors de l’étude de la comparaison des normes et de la continuité des applications linéaires, et qui est quantifiée par la notion de norme d’opérateur.
Les notions seront illustrées par des exemples variés. On pourra ainsi travailler dans les espaces $\mathbb{K}^n$, les espaces de polynômes, d’applications linéaires ou de matrices, ainsi que dans divers espaces fonctionnels.
Il convient de souligner le contenu géométrique des notions abordées, notamment à l’aide de nombreuses figures. Lors de l’étude de la connexité par arcs, un dessin pertinent peut valoir preuve.
Les notions d’espace métrique et, a fortiori, d’espace topologique, sont hors programme. Il en est de même des notions de suite de Cauchy et d’espace de Banach.
Dans toute cette section, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Normes et espaces vectoriels normés 110
- b) Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé 76
- c) Comparaison des normes 32
- d) Topologie d’un espace normé 111
- e) Étude locale d’une application, continuité 131
- f) Applications linéaires et multilinéaires continues 76
- g) Parties compactes d’un espace normé 41
- h) Applications continues sur une partie compacte 28
- i) Connexité par arcs 9
- j) Espaces vectoriels normés de dimension finie 45
exo7 6287
Soient \(E_1,E_2\) et \(F\) des espaces normés et ...
exo7 6333
Soit \(I\) un intervalle ouvert de \(\Rr\), ...
exo7 6339
Montrer que \(\Big(I+{A\over n}\Big)^n\) converge vers \(e^A\) quand ...
exo7 6402
Montrer que \(3\) points \(x, y\) et \(z\) sont ...
exo7 6409
Le but de cet exercice est d’introduire une topologie sur le groupe linéaire \(GL(E).\) Soit ...
exo7 6411
Rappelons qu’une application \(g\in SO(3)\) est dite retournement si ...
exo7 651
Donner un exemple de fonction continue sur \([0,1]\) non lipschitzienne, puis de fonction continue en un seul poin ...
exo7 665
Soit \(f\) continue sur \([a,b]\), montrer : ...
exo7 6739
Soit \(f\) une fonction continue du quart de plan \(\{x+iy;\ x,y\geq0\}\) dans ...
exo7 6775
(D’abord un cas particulier) Dans \(\Rr^3\) on considère les objets suivants : le demi-espace ...
exo7 6790
Soit \(I\subset \Rr\) un intervalle fermé borné et soit \(f: I \to I\) une applic ...
exo7 6797
Soit \(K\) un compact contenu dans \(U\) un ouvert de ...
exo7 6803
Pour la sphère \(S^2\) on considère la carte ...
exo7 6805
Soit \(f:\Rr^2 \to \Rr^2\) définie par \(f(x,y) = (x^2-y, x^2 + y^2)\). On défini ...
exo7 6807
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\Cc\). On désigne par ...
exo7 6823
Soit \(Y:\Rr^2 \to \Rr^2\) le champ de vecteurs \(Y(x,y) = (1,1+y^2)\).
exo7 6883
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(F\) un fermé non vide de ...
exo7 697
\(f:[a,b]\rightarrow {\Rr}\) est à variation bornée si et seulement si : ...
exo7 7542
Soit \(d\) un entier naturel. Montrer qu’une suite de polynômes ...
Extrema d’une fonction sur un domaine fermé
On considère la fonction \(f(x,y)=x^2+2y\) définie sur l’ensemble ...
Limite d'une Fonction
On considère la fonction définie par \(f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}\). De plus on considère la suite de termes géné ...
Limite d'une fonction définie sur $\R^2$
Soit \(f \colon \R^2 \to \R\), ...
Limite et continuité
Soit la fonction \(g \colon \R^2 \to \R\) définie par : ...
Limite et continuité d'une fonction définie sur $\R^2$
Étudier l’existence et le cas échéant, calculer \[\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\]
Optimisation avec contrainte
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Optimisation d'une fonction d'efficacité sur un disque fermé
Dans une zone militaire, l’efficacité de détection d’un radar est modélisée par la fonction : ...
Optimisation sous contrainte (1)
Nous allons ici étudier, pas à pas, la résolution d’une question d’optimisation sous-contraintes. Nous souhaitons déterminer le maximum de la fonct ...
Optimisation sous contrainte (2)
Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs. En réutilisant la méthode ...
Ouverts et fermés dans $\R$
Déterminer si les ensembles suivants sont ouverts ou fermés dans \(\R\).
...
Ouverts et fermés dans $\R^2$
Déterminer si les ensembles suivants sont ouverts ou fermés dans \(\R^2\).
Question d'optimisation
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D} \subset \R^2\) par ...
Recherche d'extremum d'une fonction de deux variables
Soit \(f : \Rr ^2\rightarrow \Rr\) l’application ...
Représentation graphique de sous-ensembles de $\mathbb{R}^2$
Représenter graphiquement les sous-ensembles suivants de \(\mathbb{R}^2\). Lesquels sont des ouverts ? Aucune just ...
Étude d'un domaine de $\R^2$
Soit \(D = \{(x,y) \in \R^2 \, , \, x > 0 \, , \, x+y \leq 0\}\) un domaine de ...
Étude d'un domaine de $\R^2$
Soit \(D = \{(x,y) \in \R^2 \, , \, y \geq 0 \, , \, x-y > 0\}\) un domaine de ...
Étude d'une fonction
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction définie par ...
Étude d'une fonction de deux variables
Soit la fonction \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : ...
Étude des extremums d'une fonction de deux variables
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x,y)=x^2+y\) sur l’ensemble : ...