Programme de mathématiques MP, MPI
f) Applications linéaires et multilinéaires continues
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Critère de continuité d’une application linéaire entre deux espaces normés : $u\in\mathscr{L}(E,F)$ est continue si et seulement s’il existe $C\in\mathbb{R}^+$ tel que $\forall x\in E,\ \lVert u(x)\rVert\leqslant C\lVert x\rVert.$ | Notation $\mathscr{L}_c(E,F)$. |
Norme subordonnée (ou norme d’opérateur) d’une application linéaire continue. | Notations $\lvert\kern-0.25ex\lvert\kern-0.25ex\lvert u\rvert\kern-0.25ex\rvert\kern-0.25ex\rvert$, $\lVert u\rVert_{\mathrm{op}}$. La norme d’opérateur est une norme sur $\mathscr{L}_c(E,F)$. Sous-multiplicativité de la norme d’opérateur. Adaptation aux matrices. |
Critère de continuité des applications multilinéaires. | La démonstration n’est pas exigible. |
exo7 4818
Soit \(E\) un \(\R\)-evn et \(f \in E^*\).
exo7 4821
Soit \(E\) un espace vectoriel complexe de dimension finie. On considère un endomorphisme ...
exo7 5854
On munit \(E=\Rr[X]\) de la norme \(\|\;\|_\infty\) définie par : ...
exo7 5855
On munit \(E =\ell^\infty(\Cc)\) le \(\Cc\)-espace vectoriel des suites bornées d ...
exo7 5856
On munit \(E=C^0([0,1],\Rr)\) de la norme \(1\) définie par ...
exo7 5857
On munit \(E=\mathcal{M}_n(\Rr)\) de la norme \(N\) définie par ...
exo7 5858
Déterminer ...
exo7 5859
Une norme sur \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) (\(n\geqslant2\)), est-elle nécessairement u ...
exo7 5860
Soit \(N\) une norme sur \(\mathcal{M}_n(\Rr)\).
Montrer qu’il existe ...
exo7 5862
On pose \(\forall X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\), ...
exo7 5863
Pour \(X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\), on pose ...
exo7 5900
Soit \((E,\|\;\|)\) un espace vectoriel normé et \(B=\{x\in E/\;\|x\| < 1\}\). ...
exo7 6073
Soit \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels normés et on note ...
exo7 6077
Soit \(C\) l’espace des fonctions continues réelles sur \([0,1]\) muni de la métr ...
exo7 6204
On désigne par \(E\) l’espace \(C([-1,1])\) muni de la norme uniforme et par ...
exo7 6205
Soit \(E=C([0,1])\), \(\mu(x)=\int_0^1 x(t)\ dt\), ...
exo7 6206
On désigne par \(E\) l’espace \(C([0,1])\) muni de la norme uniforme et l’opérate ...
exo7 6207
Soit \(K\) un compact convexe d’un evn \(E\). Soit ...
exo7 6208
Montrer que pour tout \(x\in\Rr^n\), ...
exo7 6209
Sur \(M_n(\Rr)\) on note \(|A|=\sup_{||x||\leq1}||Ax||\) la norme opérateur de la ...
exo7 6239
On désigne par \(E\) l’espace \(C([0,1])\) muni de la norme uniforme et l’opérate ...
exo7 6258
Soit \(E\) et \(F\) deux evn sur \(\Cc\). Une ap ...
exo7 6287
Soient \(E_1,E_2\) et \(F\) des espaces normés et ...
exo7 6339
Montrer que \(\Big(I+{A\over n}\Big)^n\) converge vers \(e^A\) quand ...
exo7 6409
Le but de cet exercice est d’introduire une topologie sur le groupe linéaire \(GL(E).\) Soit ...
exo7 6411
Rappelons qu’une application \(g\in SO(3)\) est dite retournement si ...