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Étant donné un entier naturel \(n\), on appelle classe d’un entier relatif \(p\) ...

Soit le groupe \(G=\Zz/12\Zz\).

Soit l’anneau \(A=\Zz{/}91\Zz\).

Soit le groupe \(G\) (additif) \(\Zz/40\Zz.\)

Démontrer, en raisonnant par récurrence, que \(10^{6n+2}+10^{3n+1}+1\) est divisible par ...

Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(9\) divise ...

Les propriétés \[P_n \;:\; 3 \mid 4^n-1 \;,\; \forall n \in \mathbb{N},\] et ...

Calculer les restes de la division euclidienne de \(1,4,4^2,4^3\) par \(3\).

Démontrer, en raisonnant par récurrence, que \(3^{2n+2}-2^{n+1}\) est divisible par ...

Soit \(n\) un entier impair non divisible par \(3\). Montrer que ...

Montrer que tout entier \(n>0\) divise toujours \(\varphi(2^n-1)\) (où ...

Trouver \[999\cdot 1998\mod 1999, \qquad 136^7 \mod 137, \qquad 1997\cdot 1998\cdot 1999\cdot 2000 \mod 2001.\] ...

Examiner les carrés \(\quad a^2 \mod n\) pour \(n=3, \ 4,\ 8\).

Passer \(\mod n\ \) avec un module approprié et montrer que chacune des équations suivantes n’a aucune solution da ...

On dit que \(\quad a \mod n\) est inversible si il existe \(b \mod n\) tel que ...

Trouver toutes les solutions dans \(\Zz\) :

Soit \(p\) un nombre premier et \(a\) un nombre pr ...

Examiner \(7^n+11^n \mod 19\).

Soit \(p=2m+1\) un nombre premier. Montrer que :

Soit \(p>2\) un nombre premier.

Trouver toutes les solutions des équations :

Soit \(P\in \Zz[x]\).

Trouver toutes les solutions des systèmes suivantes :

Montrer que \(20^{15}-1\) est divisible par \(11\times 31\times 61\).

Quels sont les restes des division de \(10^{100}\) par \(13\) et par ...

Soit \(p\) un nombre premier impair. Montrer que la congruence ...

Trouver le reste de la division par \(13\) du nombre \(100^{1000}\).

Soient \(m\ge 1\) et \(n\ge 2\) des entiers ; montrer que :

Soit \(a\) un entier relatif quelconque, démontrer que le nombre \(a(a^2-1)\) et, ...

Démontrer que le nombre \(7^n+1\) est divisible par \(8\) si ...

Trouver tous les entiers relatifs \(n\) tels que \(n^2+n+7\) soit divisible par ...

Soit \(n\) un entier relatif. Montrer que soit \(8\) divise ...

Le but de cet exercice est de montrer que \[\forall n\geq3 \quad \pi(2n+1)\geq \ln2\times{2n+1 \over \ln(2n+1)}\] ...

Étant donnés deux nombres relatifs \(n\) et \(p\) montrer que soit ...

Montrer que si \(n\) est un entier naturel somme de deux carrés d’entiers alors le reste de la division euclidienn ...

Soit \(n\) un entier naturel dont le reste de la division euclidienne par 5 vaut ...

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Montrer que parmi les trois entiers \(n.(n+1)\), ...

Calculer \(2000^{2000}\) modulo \(7\) et ...

Soit \(a,b \in {\mathbb{Z}}^2\) dont les restes modulo \(11\) sont ...

Montrer que \(7\) divise \(2222^{5555}+5555^{2222}\);

Montrer que pour tout \(n> 0\) :

Déterminer la somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de \(3^{500}\).

Montrer que pour chaque \(n \in \mathbb{N}\), \(4\) ne divise pas ...

Montrer que pour chaque entier positif \(n\), \(49\) divise ...

Trouver tous les entiers positifs \(a\) tels que \(a^{10}+1\) est divisible par ...

Quel est le chiffre des unités de \(19971997^{10}\) ?

Montrer que :

Montrer que \(\forall (a, b) \in \Nn \times \Nn^*\) il existe un unique ...

Montrer que le reste de la division euclidienne par \(8\) du carré de tout nombre impair est ...

Soit \(E\) un ensemble et \(G = {\cal P}(E)\).