Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
B - Changements de bases, équivalence et similitude
Rechercher dans cette partie du programmeexo7 3378
Soit \(A\) une matrice triangulaire à diagonale nulle. Montrer que \(A\) est nilp ...
exo7 3383
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \(A^k = I\ (k \ne 0)\). On pose ...
exo7 3390
Soit \(E = \{ \text{matrices de } \mathcal{M}_n(\R) \text{ antisymétriques}\}\) et ...
exo7 3400
Soit \(f\) l’application linéaire de \(\R^4\) dans ...
exo7 3401
Soient ...
exo7 3402
Montrer que ...
exo7 3403
Montrer que ...
exo7 3404
Soient ...
exo7 3405
Les matrices ...
exo7 3406
Soit \(A \in \mathcal{M}{n+1}(\Q)\) telle que \(a_{ij} = C_{j-1}^{i-1}\). Interpr ...
exo7 3426
Soient \(A \in \mathcal{M}_{p,q}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{q,p}(K)\). Montrer ...
exo7 3433
Soit \(n\ge 2\) et \(A \in \mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3438
Soit \(E\) un ev de dimension \(n\), ...
exo7 3469
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) de rang 1. Montrer que \(A\) est une matrice de p ...
exo7 3477
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{q,r}(K)\). Chercher ...
exo7 3480
Soit \(A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) antisymétrique.
exo7 3483
Soient deux matrices \(B \in \mathcal{M}_{n,r}(\R)\) et ...
exo7 3495
Soit \(E\) un \(\R\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3497
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3503
Diagonaliser ...
exo7 3504
Diagonaliser ...
exo7 3505
Diagonaliser la matrice ...
exo7 3507
Soit ...
exo7 3517
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\C)\). L’endomorphisme \(f\) de ...
exo7 3524
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{3}(\R)\).
exo7 3527
Soit \(A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(a_{ij} = \frac ij\). ...
exo7 3538
Soit l’application \(\Phi : {\mathcal{M}_n(\R)} \to {\mathcal{M}_n(\R)}, M \mapsto {^tM.}\) Calculer sa trace par ...
exo7 3540
Soit \(p\) premier et \(A\in\mathcal{M}_n(\Z)\). Montrer que ...
exo7 3542
Trouver les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que \(A^2 = A\) et ...
exo7 3553
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) telle que \(A^n = I\) et ...
exo7 3559
Soit \(M \in \mathcal{M}_{3}(\R)\) telle que \(M \ne I\), et ...
exo7 3563
Caractériser les polynômes \(P\) tels que : \(\forall\ A\in\mathcal{M}_n(\C)\), ...
exo7 3564
Soient \(A,B,C\in\mathcal{M}_n(\C)\) telles que \(AC = CB\) et ...
exo7 3577
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) semblables sur \(\C\) : Il existe ...
exo7 3578
Soit ...
exo7 3580
Quelles sont les matrices \(A \in \mathcal{M}_{3}(\C)\) telles que \(A^3\) est se ...
exo7 3582
Montrer qu’une matrice compagnon est semblable à sa transposée. En déduire que pour toute \(M\in\mathcal{M}_n(K)\) ...
exo7 3583
Soit \(f\in\mathcal{L}(\R^3)\) telle que \(\mathrm{Spec}(f) = \{\lambda\}\) et ...
exo7 3590
Soit \(D = \text{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\) une matrice diagonale à valeurs propres distinctes.
exo7 3591
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 &1 \cr 1 &1 \cr \end{pmatrix}\).
exo7 3593
Soit ...
exo7 3594
Trouver le commutant de \(\begin{pmatrix}2&-2&1\\ 2&-3&2\\ 1&2&0\end{pmatrix}\).
exo7 3595
Si \(A\in M_n(\C)\), on note \(C(A)\) le commutant de ...
exo7 3598
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\C)\) diagonalisable. Soit ...
exo7 3602
Soit ...
exo7 3622
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que \(A\) est nilpotente si et seulement ...
exo7 3641
Soit \(E = \mathcal{M}_n(K)\). Pour \(A \in \mathcal{M}_n(K)\), on note ...
exo7 3650
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\), ...
exo7 3658
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3673
Soient \(\vec x_1,\dots,\vec x_n\) des vecteurs d’un espace vectoriel euclidien ...