Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
a) Changements de bases
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Matrice de passage d’une base à une autre. Inversibilité et inverse d’une matrice de passage. Effet d’un changement de base sur la matrice d’un vecteur. Effet d’un changement du couple de bases sur la matrice d’une application linéaire. | |
Effet d’un changement de base sur la matrice d’un endomorphisme. | Exemples de recherche d’une base dans laquelle la matrice d’un endomorphisme donné est simple. |
exo7 3400
Soit \(f\) l’application linéaire de \(\R^4\) dans ...
exo7 3401
Soient ...
exo7 3402
Montrer que ...
exo7 3404
Soient ...
exo7 3405
Les matrices ...
exo7 3406
Soit \(A \in \mathcal{M}{n+1}(\Q)\) telle que \(a_{ij} = C_{j-1}^{i-1}\). Interpr ...
exo7 3503
Diagonaliser ...
exo7 3504
Diagonaliser ...
exo7 3505
Diagonaliser la matrice ...
exo7 3578
Soit ...
exo7 3583
Soit \(f\in\mathcal{L}(\R^3)\) telle que \(\mathrm{Spec}(f) = \{\lambda\}\) et ...
exo7 3590
Soit \(D = \text{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\) une matrice diagonale à valeurs propres distinctes.
exo7 3591
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 &1 \cr 1 &1 \cr \end{pmatrix}\).
exo7 3593
Soit ...
exo7 3594
Trouver le commutant de \(\begin{pmatrix}2&-2&1\\ 2&-3&2\\ 1&2&0\end{pmatrix}\).
exo7 3598
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\C)\) diagonalisable. Soit ...
exo7 3602
Soit ...
exo7 3622
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que \(A\) est nilpotente si et seulement ...
exo7 3650
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\), ...
exo7 3686
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(\vec u_1,\dots,\vec u_n\) une famil ...
exo7 3711
Reconnaître les endomorphismes de \(\R^3\) définis par les expressions analytiques dans la base canonique :
exo7 3787
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\). Montrer qu’il existe une base orthonormée ...
exo7 3815
Peut-on définir sur \(\R^2\) une structure euclidienne telle que l’endomorphisme ...
exo7 3817
Montrer que toute matrice symétrique réelle positive a ses coefficients diagonaux positifs. Montrer que si l’un des coefficients diagonaux ...
exo7 3838
Soit \(E\) un espace euclidien, \((\vec e_1,\dots,\vec e_n)\) une base de ...
exo7 5259
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique ...
exo7 5275
Soit ...
exo7 5602
Soit \(E=\Kk_n[X]\). \(u\) est l’endomorphisme de ...
exo7 5610
Soient \(a_1\),..., \(a_n\) \(n\) réels tous non ...
exo7 5626
Soient ...
exo7 5627
Soient \(A\) et \(B\) deux éléments de ...
exo7 5653
Soit \(A = \left( \begin{array}{ccc} 3&1&0\\ -4&-1&0\\ 4&8&-2 \end{array} \right)\).
exo7 5662
Montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle.
exo7 5684
Résoudre dans \(\mathcal{M}_3(\Cc)\) l’équation ...
exo7 5813
Soit \(A\) une matrice carrée réelle symétrique définie positive. Montrer qu’il exis ...
exo7 7411
Soit \(f : \Rr^3 \rightarrow \Rr^3\) l’application linéaire définie par ...
exo7 7449
Dans le plan euclidien orienté \(\mathcal{P}\), on considère deux demi-droites ...
exo7 968
Soient \(P=\{ (x, y, z)\in \R ^3 ; 2x+y-z=0\}\) et ...
Inverse de matrice et application
Soient les matrices ...
Triangularisation et décomposition nilpotente
Soit \(A\) la matrice ...