Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
d) Déterminant d’une matrice carrée
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Déterminant d’une matrice carrée. | Caractère $n$-linéaire alterné du déterminant par rapport aux colonnes. |
Déterminant d’un produit. Caractérisation des matrices inversibles. L’application $\det$ induit un morphisme de $\mathrm{GL}(E)$ (resp. $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$) sur $\mathbb{K}^*$. | Relation $\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$. |
Déterminant d’une transposée. | Caractère $n$-linéaire alterné du déterminant par rapport aux lignes. |
Calcul de déterminant
Calculer : ...
Calcul de déterminant
Calculer les déterminants ci-dessous en indiquant la méthode de calcul :
...
Calcul de déterminants de matrices triangulaires
Calculer les déterminants suivants : ...
Diagonalisation et calcul de puissance
On considère la matrice \[A= \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}.\]
Déterminant d'un produit
En utilisant le déterminant, justifier l’existence d’une matrice \(A\) vérifiant : ...
Déterminant d'un produit
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées telles que ...
Déterminant de Vandermonde
Montrer que : ...
Déterminant nul
Sans calculs (ou presque), justifier que les déterminants suivants sont nuls. ...
exo7 1048
suivantes. ...
exo7 1059
Soit \(N\in M_n(\C )\) une matrice nilpotente. Calculer \(\hbox{det}(I+N) .\) Si ...
exo7 1066
Calculer l’inverse de \(\begin{pmatrix} 1&2&1\\1&2&-1\\-2&-2&-1 \end{pmatrix}\).
exo7 1068
Soit \(M\in M_{n}({\Rr})\) telle que \(M-I_{n}\) soit nilpotente (ie ...
exo7 1112
Soit \(A\in\mathcal{M}_{n,n}(\R)\). On considère l’application \(\Phi_{A}\) suiva ...
exo7 1114
Calculer les déterminants des matrices suivantes : ...
exo7 1115
Calculer, pour tout \(t\in {\Rr}\) le rang des matrices ...
exo7 1116
Soient \(A \in M_p({\Rr})\) et \(B \in M_q({\Rr}).\) Calculer (en fonction de ...
exo7 1117
Sans calcul, montrer que \(\begin{vmatrix} 2 & 0 &4 \\5&2&7\\2&5&5\\ \end{vmatrix}\) est d ...
exo7 1118
Soit \(\Delta (x) = \det (a_{i, j} (x))\) de taille \(n = 2\) ou ...
exo7 1119
Calculer \(\begin{vmatrix} 1&1&1\\x&y&z\\x^2&y^2&z^2\\ \end{vmatrix}\) et déterminer la co ...
exo7 1120
La famille \((2, 1, 0)\), \((1, 3, 1)\), ...
exo7 1123
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 3. On se place dans \(\Rr^{n}.\) On note ...
exo7 1124
On note \(a,\) \(b,\) \(c\) des réels. Calculer ...
exo7 1125
On note \(a_1,\cdots,a_n\) des réels. Calculer les déterminants \(n\times n\) sui ...
exo7 1127
Soient \(a,\) \(b\) deux réels distincts. Calculer le déterminant suivant. ...
exo7 1128
Calculer le déterminant de la matrice suivante : ...
exo7 1130
Calculer les déterminants suivants : ...
exo7 1131
Soit \((a,x,y)\in\R^3\). Pour \(n\in\N\), ...
exo7 1132
Soit \((a,b)\in\R^2\) avec \(a\neq b\). Pour ...
exo7 1134
Calculer les déterminants suivants : ...
exo7 1135
Calculer les déterminants suivants : ...
exo7 1137
Calculer les déterminants suivants :
...
exo7 1139
Calculer les déterminants suivant : ...
exo7 1140
Soit \(B\in\mathcal{M}_{n,m}(\R)\) et \(C\in\mathcal{M}_{m,m}(\R)\). On considère ...
exo7 1141
Calculer le déterminant suivant : ...
exo7 1144
Soit \((a_1,a_2,a_3)\in(\mathbb{K})^{3}\). On note \(j=e^{\frac{2i\pi}{3}}\), et ...
exo7 1146
Soit \(a\) un réel différent de 1. Pour \(n\in\N\), ...
exo7 1148
Calculer le déterminant suivant : ...
exo7 1152
Inverser les matrices ...
exo7 1153
Montrer que ...
exo7 1154
Une matrice carrée \(A=(a_{ij})_{i,j\in \{ 1,\ldots, n \} }\in M_n({\Rr})\) est dite triangulaire supérieure lorsq ...
exo7 1155
On considère les matrices :
...
exo7 1156
Soit \(S\) la matrice \(5 \times 5\) à coefficients réels : ...
exo7 1157
Soit \(A \in M_3 (\Rr)\) anti-symétrique. Calculer \(\det (A)\). Ce résultat vaut ...
exo7 1158
Soient \(n = 2\) ou \(3\) et \(A \in M_n (\Qq)\) ...
exo7 1159
Soit \(\left( A,B\right) \in M_{n}({\Rr})^{2}\) tel que \(A^{2}+B^{2}=AB\) et ...
exo7 1160
Montrer que si \(n\in \Nn-\{0,1\},A\in M_{n}({\Rr})\), on a : ...
exo7 1162
Soit \(A=\left( a_{i,j}\right) _{(i,j)\in \{1,...,n\}^{2}}\in M_{n}({\Rr})\) telle que : ...
exo7 1172
Calculer les déterminants suivants. ...
exo7 1175
Pour tout \(a\) réel, on considère la matrice \(A\) et le système linéaire ...
exo7 1183
Résoudre \(\begin{cases} -cy + bz = \alpha \\ cx-az = \beta \\ -bx + ay = \gamma \end{cases}\).