Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
b) Dérivation
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Dérivée d’une fonction. | Notations $f'(x)$, $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(f(x)\big)$. |
Dérivée d’une combinaison linéaire, d’un produit, d’un quotient, d’une composée. | Ces résultats sont rappelés, avec la définition de la dérivée et l’équation de la tangente ; ils ne sont pas démontrés à ce stade. Exemples simples de calculs de dérivées partielles. |
Caractérisation des fonctions constantes, (dé)croissantes, strictement (dé)croissantes, parmi les fonctions dérivables sur un intervalle. | Résultats admis à ce stade. |
Tableau de variations. Étude pratique d’une fonction. Tracé du graphe. | Application : recherche d’extremums, démonstration d’inégalités. |
Représentation graphique et dérivée d’une fonction réciproque. Fonction de classe $\mathscr{C}^1$. Dérivées d’ordre supérieur. | La formule donnant la dérivée est admise, mais on en donne l’interprétation géométrique. |
exo7 829
Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[\frac{\cos^3 x}{\sin x}\] ...
exo7 831
Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[\frac{8x-3}{\sqrt{12x-4x^2-5}}\] ...
exo7 858
Soit \(f \in C^{1}({\Rr},{\Rr})\) telle que \(f(0)=1\) et ...
exo7 881
Déterminer les \(f\in C^{2}({\Rr},{\Rr})\) telles que : ...
Je dérive, je dérive
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le domaine de définition, de dérivabilité et calculer la dérivée : ...
Le problème du gradient vanishing
On considère un RNN simple scalaire sans entrée, pour isoler la dynamique de l’état caché : ...
Primitives de fonctions rationnelles
Calculer \(I_1=\displaystyle\int \frac{1}{x^2+1}\,dx\).
Rétropropagation à travers le temps (BPTT)
On considère un RNN simple scalaire (\(h_t \in \mathbb{R}\)) défini par : ...
Un pas de descente trop grand
On considère la fonction \[f(x,y)=(x-2)^2+4(y+1)^2\] et la descente de gradient à pas constant ...
Une rétropropagation de bout en bout
On considère un réseau à une entrée, un neurone caché et un neurone de sortie : ...
Une étape de descente de gradient sur un modèle linéaire
On cherche à ajuster un modèle linéaire de la forme \[\hat y = wx+b,\] où \(x\) ...
Études de fonctions
Etudier et représenter les fonctions suivantes : ...
Évaluer un perceptron à deux entrées, avec ou sans biais
On note \(H\) la fonction de Heaviside : \(H(t)=1\) si ...