Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Intégration
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Cette section a pour principal objectif de définir l’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment et d’en établir les propriétés principales. Elle offre l’occasion de revenir sur les techniques de calcul intégral, mais aussi de traiter des exercices d’esprit plus théorique.
Les méthodes de calcul approché d’intégrales donnent l’occasion de revenir sur la problématique de l’approximation. On pourra ainsi comparer les performances de la méthode des rectangles et de celle des trapèzes.
La notion de continuité uniforme est introduite uniquement en vue de la construction de l’intégrale. L’étude systématique des fonctions uniformément continues n’est pas un attendu du programme.
Le corps $\mathbb{K}$ est pris égal à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Le professeur peut soit se placer d’emblée dans le cadre des fonctions à valeurs complexes, soit traiter en premier lieu le cas réel avant de procéder à une brève extension.
- a) Continuité uniforme 6
- b) Fonctions continues par morceaux 10
- c) Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment 366
- d) Sommes de Riemann 18
- e) Lien entre intégrale et primitive 43
- f) Formules de Taylor globales 14
exo7 4307
Soient \(I = \int_{u=0}^{+\infty} \frac{d u}{(1+u^2)(1+u^n)}\) et ...
exo7 4308
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que ...
exo7 4309
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) de classe \(\mathcal{C}^1\), intégrable.
exo7 4310
Établir la convergence et calculer la valeur de ...
exo7 4311
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur ...
exo7 4313
Chercher \(\lim_{x\to0} \int_{t=x}^{2x} \frac{\cos t\ln(1+t^2)}{\sin^2t\sh t}\,d t\).
exo7 4315
Chercher \(\lim_{x\to+\infty} \frac1{x^2} \int_{t=3}^{x^2+x} \frac{\sin t\,d t}{3+\ln(\ln t)}\).
exo7 4316
Chercher \(\lim_{x\to0^+} \int_{t=x}^{x^2} \frac{e^{-t}\,d t}{\sin t\ln t}\).
exo7 4317
Établir la convergence et calculer la somme de \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+t^3)^n}\). ...
exo7 4318
Prouver l’existence pour \(x > 0\) de ...
exo7 4319
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Chercher ...
exo7 4320
Donner un équivalent pour \(x\to+\infty\) de ...
exo7 4322
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue. On pose ...
exo7 4323
Soit \(I_n = \int_{t=0}^1 t^n\ln(1+t^2)\,d t\). Montrer que \(I_n \to 0\) lorsqu ...
exo7 4324
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Montrer que ...
exo7 4325
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Montrer que ...
exo7 4326
Donner les deux premiers termes du DL pour \(n\to\infty\) de ...
exo7 4327
Donner les deux premiers termes du DL pour \(n\to\infty\) de ...
exo7 4329
Déterminer \(\lim_{n\to\infty} \int_{x=0}^{\pi/2} \frac{\sin^nx}{x+2}\,d x\).
exo7 4330
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Déterminer ...
exo7 4331
Soit \(x\in{[0,n]}\). Montrer que \((1-x/n)^n \le e^{-x}\). En déduire ...
exo7 4332
Déterminer les fonctions \(f \in \mathcal{C}^0(\R,\R)\) telles que : ...
exo7 4333
On pose \(I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^nt\,d t\).
exo7 4334
Chercher \(\lim_{n\to\infty} \int_0^1\frac{t^n-t^{2n}}{1-t}\,d t\).
exo7 4335
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue atteignant son maximum en un unique point ...
exo7 4336
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R^+}\) continue telle que ...
exo7 4337
Soient \({f,g} : \R \to \R\) continues et \(a,b \in \R\). On pose ...
exo7 4338
Soient \(f,g\in\mathcal{C}([0,+\infty[,\R)\). On pose ...
exo7 4339
Calculer \(\varphi(a) = \int_{t=0}^1 \frac{d t}{1+at}\).
exo7 4344
On considère les fonctions définies par : \(f(x) = \left({ \int_{t=0}^x e^{-t^2}\,d t}\right)^2\) et ...
exo7 4347
On pose, pour \(x\) réel, ...
exo7 4348
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) et ...
exo7 4349
Soit \(f:\R \to \R\) continue. On pose ...
exo7 4350
Soit \(f:\R \to \R\) continue. On définit pour \(x \in \R^*\) et ...
exo7 4351
Construire les courbes représentatives des fonctions suivantes :
exo7 4352
Montrer qu’il existe un unique réel \(x \in {[0,\pi]}\) tel que ...
exo7 4353
Soit \(I(\alpha) = \int_{x=0}^{+\infty} \frac{\sin\alpha x}{e^x-1}\,d x\).
exo7 4355
Soit \(\theta\in{]0,\pi[}\). Montrer que ...
exo7 4358
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que ...
exo7 4361
Domaine de définition de \(I(\alpha) = \int_{x=0}^{+\infty}\frac{x\ln x}{(1+x^2)^\alpha}\,d x\). Calculer ...
exo7 4365
Développer, pour tout \(x>0\), ...
exo7 4366
Étudier \(\int_{t=0}^{+\infty} \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\,d t\).
exo7 4368
Soit \(\alpha>0\).
exo7 4370
Montrer, pour \(x>1\) : ...
exo7 4372
Soit \(\alpha\in{]0,\frac\pi2[}\) et \(\lambda\in\R\). Chercher un équivalent pou ...
exo7 4373
Soit \((a_n)_{n\in\N}\) la suite définie par \(a_0=1\) et ...
exo7 4374
Soit \(u_n(t)\) le terme général d’une série : \(u_n(t)= t^{n-1}\sin(nx)\) avec ...
exo7 4375
Soit \(f\) continue par morceaux définie sur \(\R\), à valeurs dans ...
exo7 4377
Soit \(f(x) = \int_{t=0}^1\frac{1-t}{\ln t}t^x\,d t\). Étudier le domaine de définition de ...
exo7 4378
Soit \(I(a) = \int_{x=0}^{+\infty}\frac{\sh x}xe^{-ax}\,d x\).