Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Polynômes et fractions rationnelles
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L’objectif de cette section est d’étudier les propriétés de base des polynômes et fractions rationnelles. Il s’agit d’objets particulièrement riches, dont l’étude interagit avec beaucoup de thèmes abordés pendant le semestre. Par exemple :
- l’étude des équations algébriques enrichit le calcul algébrique et suggère des problèmes de localisation des racines, mettant en jeu des techniques analytiques dans le cas réel, plus géométriques dans le cas complexe ;
- l’interpolation de Lagrange permet de reconstituer un polynôme en fonction de ses valeurs en suffisamment de points et donne lieu à des problèmes issus de la théorie de l’approximation (majoration de l’erreur d’interpolation).
L’arithmétique de $\mathbb{K}[X]$ est développée selon le plan déjà utilisé pour l’arithmétique de $\mathbb{Z}$, ce qui autorise un exposé allégé. Le programme se limite au cas où le corps de base $\mathbb{K}$ est égal à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Anneau des polynômes à une indéterminée 95
- b) Divisibilité et division euclidienne 112
- c) Fonctions polynomiales et racines 243
- d) Dérivation 112
- e) Arithmétique dans $\mathbb{K}[X]$ 74
- f) Polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$ 82
- g) Formule d’interpolation de Lagrange 13
- h) Fractions rationnelles 39
- i) Décomposition en éléments simples sur $\mathbb{C}$ et sur $\mathbb{R}$ 70
exo7 6526
Soit \(\mathbb{F}\) un corps et \(P,\; Q\in \mathbb{F}[X]\) tels que ...
exo7 6527
Trouver tous les automorphismes de l’anneau \(\mathbb{F} [X]\), où \(\mathbb{F}\) ...
exo7 6528
Utiliser l’algorithme d’Euclide dans \(\Q[X]\) pour exprimer le pgcd demandé sous forme de combinaison linéaire de ...
exo7 6531
Soit \(P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_0\in \Z[X]\) et soit \(c\in \Q\) une ...
exo7 6532
Soit \(a\in \Z\) un nombre sans facteurs carrés, \(a\not\in \{ -1,\; 0,\; 1\}\). ...
exo7 6533
Montrer que le polynôme \(X^2-1\) a quatre zéros dans \(\Z /15\Z\). Est-ce que ce ...
exo7 6534
Montrer que \(X^2+1\) est irréductible en tant qu’élément de \(\Q[X]\) mais réduc ...
exo7 6535
Si \(\mathbb{F}\) est un corps, montrer qu’un polynôme \(P\) de degré 2 ou 3 dans ...
exo7 6536
Lesquels parmi les polynômes suivants sont irréductibles dans \(\Q[X]\) ?
...
exo7 6539
Soit \(p\in \N^*\) un nombre premier. Montrer que les polynômes ...
exo7 6541
Soit \(D\) un anneau intègre fini contenant \(n\) éléments distincts ...
exo7 6542
Soit \(A\) un anneau commutatif. Montrer l’équivalence des deux affirmations suivantes :
exo7 6543
Calculer la dérivée du polynôme \((3X^2+2X-4)(4X^3-2X+3)\in \mathbb{F}_5 [X]\).
exo7 6545
Soit \(K\) un corps et soit \(K(X)\) le corps des fractions de l’anneau ...
exo7 6546
Montrer que si \(K\) est un corps de caractéristique différente de \(2\) alors ...
exo7 6547
Calculer la somme des carrés des racines de l’équation \(x^3+2x-3=0\).
exo7 6548
Exprimer à l’aide des polynômes symétriques fondamentaux :
exo7 6550
Calculer le résultant des polynômes :
exo7 6551
Pour quelle valeur de \(\lambda\) les polynômes suivants ont-ils un zéro en commun ?
exo7 6866
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
exo7 6867
Calculer les intégrales suivantes :
exo7 692
Montrer que les fonctions suivantes ne sont pas des polynômes : ...
exo7 6955
Effectuer la division euclidienne de \(A\) par \(B\) :
exo7 6956
À quelle condition sur \(a,b,c\in\Rr\) le polynôme \(X^4+aX^2+bX+c\) est-il divis ...
exo7 6957
Déterminer les pgcd des polynômes suivants:
exo7 6959
Factoriser dans \(\Rr[X]\) et \(\Cc[X]\) les polynômes suivants : ...
exo7 6960
Trouver tous les polynômes \(P\) qui vérifient la relation \[P(X^2)=P(X)P(X+1)\] ...
exo7 6961
Soit \(n\in\Nn\). Montrer qu’il existe un unique \(P\in\Cc[X]\) tel que ...
exo7 6962
Soit \(P=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0\) un polynôme de degré \(n\ge 1\) à c ...
exo7 6963
Soient \(a_0,\ldots,a_n\) des réels deux à deux distincts. Pour tout ...
exo7 6964
Existe-t-il une fraction rationnelle \(F\) telle que ...
exo7 6965
Soit \(F=\frac{P}{Q}\) une fraction rationnelle écrite sous forme irréductible. On suppose qu’il existe une fracti ...
exo7 6966
Soit \(n\in\Nn^*\) et \(P(X)=c(X-a_1)\cdots(X-a_n)\) (où les ...
exo7 6967
Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur \(\Rr\), par identification des coefficients.
exo7 6968
Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur \(\Rr\), en raisonnant par substitution pour obtenir le ...
exo7 6970
Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur \(\Cc\). ...
exo7 6971
On pose \(Q_0=(X-1)(X-2)^2\), \(Q_1=X(X-2)^2\) et ...
exo7 6972
Soit \(T_n(x)=\cos\big(n \arccos(x)\big)\) pour \(x\in [-1,1]\).
exo7 702
Calculer les dérivées d’ordre \(n\) des fonctions : ...
exo7 710
Soient \(a\) et \(b\) deux réels et ...
exo7 715
Montrer que le polynôme \(P_n\) défini par ...
exo7 717
Montrer que le polynôme \(X^n+aX+b\), (\(a\) et ...
exo7 7212
Résoudre sur \(\C\) l’équation \[iz^3-(1+i)z^2+(1-2i)z+6+8i=0,\] sachant qu’elle ...
exo7 7280
Montrer que pour tout \(\theta \in \Rr\), on a ...
exo7 7303
Montrer que \(\Z \times \Z\) peut être muni d’une structure naturelle d’anneau.
exo7 7310
L’équation \(x^3 + x + 1 = 0\) a-t-elle des solutions dans \(\Z/2\Z\).
exo7 7315
Soit \(D ~:~ \R[X] \rightarrow \R[X]\) l’application de dérivation. Est-ce un morphisme de groupes ? Un morphisme ...
exo7 7316
Déterminer le pgcd et le ppcm des polynômes \(X^5 - 3X^4 + X^3 + 2X^2 - 6X +2\) et ...
exo7 7318
Soit \(K\) un corps, et \(P \in K[X]\). Les assertions suivantes sont elles vraie ...