Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
D - Sous-espaces affines d’un espace vectoriel
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Le but de cette partie, qu’il convient d’illustrer par de nombreuses figures, est double :
- montrer comment l’algèbre linéaire permet d’étendre les notions de géométrie affine étudiées au collège et au lycée et d’utiliser l’intuition géométrique dans un cadre élargi.
- modéliser un problème affine par une équation $u(x) = a$ où $u$ est une application linéaire, et unifier plusieurs situations de ce type déjà rencontrées.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Présentation informelle de la structure affine d’un espace vectoriel : points et vecteurs. Translation. | L’écriture $B = A + \vec{u}$ est équivalente à la relation $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$. |
Sous-espace affine d’un espace vectoriel, direction. Hyperplan affine. Intersection de sous-espaces affines. | Sous-espaces affines de $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$. |
Notion d’équation linéaire, i.e. de la forme $u(x) = a$ où $u \in \mathscr{L}(E, F)$, $a \in F$. L’ensemble des solutions est soit l’ensemble vide, soit un sous-espace affine dirigé par $\operatorname{Ker} u$. | Retour sur les systèmes linéaires, les équations différentielles linéaires d’ordres 1 et 2, les suites arithmético-géométriques, la recherche de polynômes interpolateurs. |
exo7 2039
Définir analytiquement la projection orthogonale sur le plan d’équation \(2x+2y-z=1\).
exo7 2043
Tout ce problème se situe dans l’espace euclidien tridimensionnel muni d’un repère orthonormé direct ...
exo7 2044
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \((0,\vec{\strut\imath},\vec{\strut\jmath},\vec{\strut k})\). ...
exo7 2045
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points distin ...
exo7 2476
Soit \(E\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à ...
exo7 2705
Montrer que les deux droites de l’espace d’équations paramétriques \({x = 2+2t}, {y =2+4t}, {z=2-4t}\) et ...
exo7 2779
Qu’est -ce qui empêche de définir les mêmes opérations que dans l’exercice précédent sur les ensembles suivants ?
exo7 3172
Soit \(\Phi : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(X+1)+P(X-1)-2P(X)}\)
exo7 3614
Soit \(E = \R^3\) et \(H:x+2y+3z=1\) un plan affine de ...
exo7 4859
Soient \(I,J,K\) trois points du plan. Montrer l’équivalence entre les trois propriétés :
a) ...
exo7 4860
On considère deux plans non parallèles de \({\cal E}_3\) ayant pour équation dans un repère ...
exo7 4861
Dans \({\cal E}_3\) muni d’un repère \((O,\vec i,\vec j,\vec k\,)\), on donne : ...
exo7 4862
Dans \({\cal E}_3\) muni d’un repère \((O,\vec i,\vec j,\vec k\,)\), on donne : ...
exo7 4863
Soit \(\cal E\) un espace affine de dimension 3, et \(D,D',D''\) troi ...
exo7 4864
Dans \({\cal E}_2\) muni d’un repère \((O,\vec i,\vec j)\), on considère les troi ...
exo7 4865
Soit \(ABCD\) un parallélogramme, et \(M \in (ABC)\). On note ...
exo7 4866
Soit \((O,\vec i,\vec j)\) un repère de \({\cal E}_2\), et ...
exo7 4867
Soient \(\cal F\), \(\cal G\), deux sous-espaces affines de dimension finie d’un ...
exo7 4868
Soient \(\cal F\), \(\cal G\), deux sous-espaces affines disjoints de dimensions ...
exo7 4869
Soit la famille de droites : ...
exo7 4870
Soit \(f : {\cal E} \to {\cal E}\) affine telle qu’il existe \(p \in \N^*\) tel q ...
exo7 4871
Soit \({\cal E}\) un espace affine de dimension finie et ...
exo7 4872
On fixe un repère \({\cal R} = (O,\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)\) d’un espace affine de dimension 3. Déterminer le ...
exo7 4873
On fixe un repère \({\cal R} = (O,\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)\) d’un espace affine de dimension 3. Reconaître l’ ...
exo7 4874
Dans un espace affine \({\cal E}\), on considère quatre points \(A,B,C,D\). Étudi ...
exo7 4875
Soit \({\cal P}\) un plan, et \(f : {\cal P} \to {\cal P}\) une application affin ...
exo7 4876
Soit \(\cal P\) un plan, \(\cal D\) une droite de ...
exo7 4877
Soient \(\pi,\pi'\) deux projections dans un espace affine \({\cal E}\) ayant ...
exo7 4878
Soit \(f : {\cal E} \to {\cal E}\) affine. On dit que \(f\) est une sym ...
exo7 4879
Dans un espace affine \({\cal E}\) on donne quatre points \(P,Q,P',Q'\) a ...
exo7 4880
On considère dans l’espace deux plans parallèles distincts \(\cal P\), ...
exo7 4881
Soient \(A_1,\dots,A_n\) \(n\) points de ...
exo7 4882
Dans l’espace, on considère un point \(O\) et un plan \(\cal P\) ne passant pas p ...
exo7 4883
Soit \({\cal E}\) un espace affine de dimension finie et ...
exo7 4884
Soit \((A,B,C)\) une base affine de \({\cal E}_2\), et ...
exo7 4885
Dans l’espace, les droites \((AA')\), \((BB')\), ...
exo7 4886
Soit \(P = A_1A_2\dots A_n\) un polygone à \(n\) sommets : on lui associe le poly ...
exo7 4887
Soit \(P = A_1A_2\dots A_n\) un polygone à \(n\) sommets : on lui associe le poly ...
exo7 4891
Soient \(ABC\) et \(A'B'C'\) deux triangles tels que les parallèles à ...
exo7 4894
Dans le plan, on considère :
– trois points non alignés \(A,B,C\).
– trois points alignés ...
exo7 4895
Soient \(A,B,C\) trois points non alignés et \(M_1 \in (AB)\). On construit les p ...
exo7 4897
Soit \(ABC\) un triangle. On note : \(a = BC\), ...
exo7 4934
Équation d’un cône
Déterminer les réels \(\lambda\) tels que la surface d’équation : ...
exo7 4936
Soit \({\cal E}\) un ellipsoïde d’équation ...
exo7 4938
On considère un point \(F\), un plan \(P\) ne passant pas par ...
exo7 4950
Soit \(ABC\) un triangle et \(\mathcal{C}\) son cercle circonscrit. Soit ...
exo7 4951
Soit \({\cal C} = {\cal C}(O,r)\) un cercle du plan et \(f\) une application affi ...
exo7 4958
Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points distinct ...
exo7 4959
Soient \(A,B,C,D,E\) cinq points de l’espace et \(k \in \R\).
Déterminer l ...
exo7 4963
Dans un rond on donne les droites \(D : \begin{cases}x - y + z = -1 \cr 2x + y - z = 0 \cr\end{cases}\) ...