Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
D - Sous-espaces affines d’un espace vectoriel
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Le but de cette partie, qu’il convient d’illustrer par de nombreuses figures, est double :
- montrer comment l’algèbre linéaire permet d’étendre les notions de géométrie affine étudiées au collège et au lycée et d’utiliser l’intuition géométrique dans un cadre élargi.
- modéliser un problème affine par une équation $u(x) = a$ où $u$ est une application linéaire, et unifier plusieurs situations de ce type déjà rencontrées.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Présentation informelle de la structure affine d’un espace vectoriel : points et vecteurs. Translation. | L’écriture $B = A + \vec{u}$ est équivalente à la relation $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$. |
Sous-espace affine d’un espace vectoriel, direction. Hyperplan affine. Intersection de sous-espaces affines. | Sous-espaces affines de $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$. |
Notion d’équation linéaire, i.e. de la forme $u(x) = a$ où $u \in \mathscr{L}(E, F)$, $a \in F$. L’ensemble des solutions est soit l’ensemble vide, soit un sous-espace affine dirigé par $\operatorname{Ker} u$. | Retour sur les systèmes linéaires, les équations différentielles linéaires d’ordres 1 et 2, les suites arithmético-géométriques, la recherche de polynômes interpolateurs. |
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Donner la définition d’un sous-espace affine d’un espace affine \(E\).
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Dans le plan affine \(P\) réel, muni d’un repère affine \((A_0,A_1,A_2)\), on con ...
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Dans l’espace affine \(E\) réel, on considère une homothétie \(h\) de centre ...
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Dans l’espace affine \(E\) réel, muni d’un repère cartésien ...
exo7 7492
Dans l’espace affine \(E\) réel, muni d’un repère cartésien ...
exo7 7493
Dans l’espace affine \(E\) réel, muni d’un repère cartésien ...
exo7 7494
Dans l’espace affine \(E\) réel, muni d’un repère cartésien ...
exo7 7496
Soit \(E\) un plan affine euclidien. Soit \(\mathcal{R}=(O,i,j)\) un repère carté ...
exo7 7497
On reprend les notations de l’exercice précédent. Soit \(E\) un plan affine euclidien. Soit ...
exo7 7499
Dans un espace affine, quel est le sens de la notation \(1/3\ A+1/3\ B+1/3\ C\) où ...
exo7 7501
Soit \(P\) un plan affine et \((A,B,C)\) un repère affine. Donner la condition d’ ...
exo7 7502
On munit le plan affine euclidien \((P,<,>)\) d’un repère orthonormé ...
exo7 7505
On munit le plan affine euclidien \((P,<,>)\) d’un repère orthonormé ...
exo7 7509
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension trois et ...
exo7 7512
Soit \(A, B ,C\) un repère affine d’un plan affine \(E\).
exo7 7514
Construire un point \(A\) sur le cercle \(\mathcal{C}\) dont le symétrique par ra ...
exo7 7516
Soient \(E\) un espace affine de dimension 3, et \(A,B,C,D\) un tétraèdre de ...
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On cherche à décrire le groupe \(G\) des isométries d’un plan affine euclidien qui conservent globalement un trian ...
Pourquoi plusieurs couches ? Le problème XOR
On veut attribuer l’étiquette \(1\) aux points \((1,0)\) et ...
Reconnaître une bande du plan
Un point \((x,y)\) reçoit l’étiquette \(1\) si les deux mesures ...
Une couleur est-elle une nuance de rouge ?
Une couleur est codée par un triplet \((r,g,b)\in[0,1]^3\) (rouge, vert, bleu). Un perceptron à trois entrées de p ...
Évaluer un perceptron à deux entrées, avec ou sans biais
On note \(H\) la fonction de Heaviside : \(H(t)=1\) si ...