Programme de mathématiques PC
e) Trigonalisation en dimension finie
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie est dit trigonalisable s’il existe une base dans laquelle sa matrice est triangulaire. | Expression de la trace et du déterminant d’un endomorphisme trigonalisable, d’une matrice trigonalisable à l’aide des valeurs propres. |
Une matrice carrée est dite trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire. | Interprétation en termes d’endomorphisme. |
Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{K}$. | La démonstration n’est pas exigible. Traduction matricielle. |
Toute matrice de $\mathscr{M}_n(\mathbb{C})$ est trigonalisable. | La technique générale de trigonalisation est hors programme. On se limite dans la pratique à des exemples simples en petite dimension et tout exercice de trigonalisation effective doit comporter une indication. |
exo7 1159
Soit \(\left( A,B\right) \in M_{n}({\Rr})^{2}\) tel que \(A^{2}+B^{2}=AB\) et ...
exo7 1591
Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(\Rr\)-espace vectoriel ...
exo7 1629
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables ? Si oui, les réduire. ...
exo7 1633
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables, sur \(\R\) et sur ...
exo7 1635
La matrice suivante est-elle diagonalisable, triangularisable ? Effectuer explicitement la réduction. ...
exo7 1641
Déterminer les valeurs propres des matrices suivantes. Sont-elles diagonalisables, triangularisables ?
...
exo7 1679
Montrer que ...
exo7 1686
Trigonaliser les matrices réelles suivantes :
exo7 1687
Mettre sous forme triangulaire les matrices suivantes : ...
exo7 1688
Soient les matrices à coefficients réels suivantes ...
exo7 1689
Soit \(f\) l’endomorphisme de l’espace vectoriel canonique \(\Rr^3\) dont la matr ...
exo7 1690
Soit ...
exo7 1691
Les questions sont indépendantes. \(K\) désigne \(\Rr\) ou ...
exo7 1692
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension \(4\). Soit: ...
exo7 1726
Etudier les solutions (suivant \(A\)) dans \(M_2 (\C )\) de l’équation ...
exo7 1728
Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Soient ...
exo7 2574
(5 points) Soit \(A\) une matrice carrée, \(A\in M_n(K)\) ( ...
exo7 3378
Soit \(A\) une matrice triangulaire à diagonale nulle. Montrer que \(A\) est nilp ...
exo7 3578
Soit ...
exo7 3620
Soient \(A,B\in\mathcal{M}_n(\C)\) telles que \(AB = 0\). Montrer que ...
exo7 3621
Soient \(A_1,\dots,A_n\in\mathcal{M}_n(K)\) nilpotentes et commutant deux à deux. Montrer que ...
exo7 3624
On donne une matrice carrée réelle \(M\) d’ordre \(n\). Soient ...
exo7 3819
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^2 = -I_n\).
exo7 5626
Soient ...
exo7 5677
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes d’un ...
Triangularisation et décomposition nilpotente
Soit \(A\) la matrice ...