Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
b) Développements limités
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Développement limité à l’ordre $n$ d’une fonction en un point. Unicité des coefficients, troncature. | Le développement limité à l’ordre $n$ de $f$ en $a$ peut se ramener à celui de $h\mapsto f(a+h)$ en 0. Signe de $f$ au voisinage de $a$. |
Développement limité en 0 d’une fonction paire, impaire. Caractérisation de la dérivabilité par l’existence d’un développement limité à l’ordre 1. | |
Opérations sur les développements limités : combinaison linéaire, produit, quotient. | On privilégie la factorisation par le terme prépondérant pour prévoir l’ordre d’un développement. Les étudiants doivent savoir déterminer sur des exemples simples le développement limité d’une composée, mais aucun résultat général n’est exigible. |
Primitivation d’un développement limité. Formule de Taylor-Young : pour $f$ de classe $\mathscr{C}^n$, développement limité à l’ordre $n$ en 0 de $h\mapsto f(a+h)$. Développement limité à tout ordre en 0 de exp, sin, cos, sh, ch, $x\mapsto\ln(1+x)$, $x\mapsto\dfrac{1}{1-x}$, $x\mapsto(1+x)^\alpha$, Arctan. Développement limité à l’ordre 3 en 0 de tan. | |
Application des développements limités à l’étude locale d’une fonction. Condition nécessaire, condition suffisante à l’ordre 2 pour un extremum local en un point intérieur. | Calculs d’équivalents et de limites, position relative d’une courbe et de sa tangente, détermination d’asymptotes. |
exo7 4004
Soit \(f:\R \to \R\) trois fois dérivable en \(a\). Étudier ...
exo7 4006
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que pour tous ...
exo7 4009
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On note ...
exo7 4010
Soit \(f : {[-a,a]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). Montrer que :
...
exo7 4011
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\). Pour ...
exo7 4012
Différences finies Soit \(f:\R \to \R\) de classe ...
exo7 4013
Soit \(f : \R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\). On suppose : ...
exo7 4019
Calculer le développement limité de \(\left(\frac{\tan x}x\right)^{1/x^2}\) en ...
exo7 4020
\(\frac 1{\sin^2x} - \frac 1{\sh^2x} \to \frac 23\) lorsque ...
exo7 4021
\(\frac 1x\ln\Bigl(\frac {e^x-1}x \Bigr) \to \frac 12\). lorsque ...
exo7 4022
\(x^{\arcsin x} \to 1\) lorsque ...
exo7 4023
\(\frac {\sqrt{x+3} - \sqrt[3]{3x+5}}{1 - \tan(\pi x/4)} \to 0\) lorsque ...
exo7 4024
Soient \(a_1,\dots,a_n \in \R\). CNS pour que ...
exo7 4025
On pose \(u_{n,p} = \left({\frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \Bigl(1+\frac kn\Bigr)^{1/p}}\right)^p\). Trouver : ...
exo7 4026
Calculer \(\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \sin \frac k{n^2}\) puis ...
exo7 4027
Pour chacune des courbes suivantes, déterminer la tangente pour \(x=0\) et la position de la courbe par rapport à ...
exo7 4028
On pose : \(f(x) = 1/(1+x)\), \(g(x) = e^{-x}\), ...
exo7 4029
Rechercher si les courbes suivantes admettent une asymptote en \(+\infty\) et déterminer la position s’il y a lieu ...
exo7 4030
Montrer que \(\frac1x\ln(\ch x)\) admet en \(+\infty\) un développement limité gé ...
exo7 4031
Soit \(f : \R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\). On pose ...
exo7 4032
Soit \(P \in \R[X]\) de valuation 1. Démontrer que pour tout entier \(n \in \N\), ...
exo7 4033
Développer de deux manières \((1-e^x)^n\) en \(0\) à l’ordre ...
exo7 4034
Soit \(f : \R \to \R\) deux fois dérivable. Chercher ...
exo7 4035
Soit \(f : \R \to \R\) convexe dérivable telle que ...
exo7 4037
Montrer que l’équation \(\tan x = x\) possède une unique solution \(x_n\) dans ...
exo7 4038
On note \(f_n(x) = x\cos^nx\). Soit \(x_n \in \left[0,\frac \pi2 \right]\) tel qu ...
exo7 4039
Soit \(f : x \mapsto \frac{x+1}x e^x\).
exo7 4040
Soit \(f(x) = \frac{\ln|x-2|}{\strut\ln|x|}\). Montrer que pour tout \(n\in\N^*\) ...
exo7 4042
Montrez que pour \(n\) entier (\(n>0\)) l’équation ...
exo7 4043
Pour tout \(n\) entier naturel non nul, on donne ...
exo7 4045
Trouver \(a,b\in\R\) tels que \[\cos x - \frac{1+ax^2}{1+bx^2}\] soit un ...
exo7 4046
Trouver \(a,b\in\R\) tels que \(\sin x - \frac{x+ax^3}{1+bx^2}\) soit infiniment ...
exo7 4047
Simplifier \(\arccos(1-2x^2)\), en trouver un équivalent pour \(x \to 0\), puis d ...
exo7 4048
Soient \(P(X) = X + aX^3 + bX^5 + cX^7\) et ...
exo7 4049
Soient \(u,v\) deux fonctions positives, \(u \sim v\), ...
exo7 4051
Chercher un équivalent simple en \(0^+\) de ...
exo7 4053
Soit \(f(x) = \ln(1+x) - x\).
exo7 4067
On désigne par \(y\) la solution de l’équation différentielle ...
exo7 4165
Montrer que l’équation : \(x^3+y^3-3xy=1\) définit au voisinage de \(0\) une fonc ...
exo7 4169
Soit l’équation \((*) \Leftrightarrow x^5 + \lambda x^3 + \mu x^2 -1 = 0\). Montrer qu’il existe un voisinage, ...
exo7 4182
On pose pour \((x,y)\in\R^2\) : ...
exo7 4226
Pour \(0<a<b\), déterminez ...
exo7 4313
Chercher \(\lim_{x\to0} \int_{t=x}^{2x} \frac{\cos t\ln(1+t^2)}{\sin^2t\sh t}\,d t\).
exo7 4321
Soit \(a > 0\). Donner le DL en \(x=1\) à l’ordre 3 de ...
exo7 4326
Donner les deux premiers termes du DL pour \(n\to\infty\) de ...
exo7 4327
Donner les deux premiers termes du DL pour \(n\to\infty\) de ...
exo7 4540
Soit \(f_n(x) = \frac{n^x}{(1+x)(1+x/2)\dots(1+x/n)}\).
exo7 4575
Développer en série entière : \(\ln(\sqrt{1-2x\ch a + x^2})\).
exo7 4576
Développer en série entière \(\frac{e^x}{1-x}\) puis \(\frac{e^{x^2}}{1-x}\).
exo7 4588
Soit \((u_n)\) définie par, pour tout \(n\in \N\), ...