Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
Compléments de calcul algébrique et de trigonométrie
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Cette section « boîte à outils » complète l’enseignement du lycée sur un certain nombre de points importants pour la suite :
- calculs de sommes et de produits, dont la formule du binôme ;
- résolution de petits systèmes linéaires par l’algorithme du pivot ;
- manipulation d’inégalités et résolution d’inéquations ;
- utilisation du cercle trigonométrique, manipulation des lignes et fonctions trigonométriques.
- a) Sommes et produits 139
- b) Résolution de petits systèmes linéaires par la méthode du pivot 59
- c) Inégalités 111
- d) Trigonométrie 175
exo7 2878
Montrer que \(\prod_{k=1}^\infty (1 + \frac ik)\) diverge tandis que ...
exo7 2900
Calculer \(\sum_{k=0}^n\, kC_n^k\) et \(\sum_{k=0}^n \frac{C_n^k}{k+1}\).
exo7 2901
Soient \(n,p \in \N^*\) avec \(n \ge p\).
exo7 2902
Soient \(n,p \in \N^*\). Simplifier \(\sum_{k=0}^p\,(-1)^kC_n^k\).
exo7 2903
Soit \(E\) un ensemble fini de cardinal \(n\). Calculer ...
exo7 2904
Soit \(n \in \N\). Calculer \(\displaystyle\sum_{i+j=n}ij\) et ...
exo7 2906
Soient \(n,p \in \N\). Montrer que \(\sum_{k=0}^n C_{p+k}^p = C_{p+n+1}^{p+1}\). ...
exo7 2907
Soit \(n \in \N\) fixé. Déterminer pour quelle valeur de ...
exo7 2908
Soit \(p \in \N^*\), et \(n = 2^p\).
exo7 2909
Soient \(a,b,c \in \N\). Démontrer que ...
exo7 2910
Soit \((x_n)\) une suite de réels. On pose ...
exo7 2911
Soit \(u_n = \sum_{p=0}^n C_{n-p}^p\). Montrer que \(u_0 = u_1 = 1\) et : ...
exo7 2940
Soit \(\omega = \exp\frac {2i\pi}n\). Calculer :
exo7 2943
Soit \(z = \exp\frac {2i\pi}7\) et \(u = z + z^2 + z^4\), ...
exo7 2944
Simplifier \(x = \prod_{p=2}^n\frac {p^3-1}{p^3+1}\) en utilisant \(1,j,j^2\). ...
exo7 2952
Simplifier :
exo7 2954
Soit \(\theta \in \R\).
exo7 2955
Résoudre : \(\sum_{k=0}^{n-1}\,\frac {\cos(kx)}{\cos^kx} = 0\).
exo7 2957
Simplifier \[\sum_{k=1}^n\, \frac 1 {2^k \cos\theta \cos2\theta \cos4\theta \dots \cos2^{k-1}\theta}.\]
exo7 2958
Soit \(n \in \N\), et \(x \in \R\). Exprimer ...
exo7 2959
Soit \(z \in \mathbb{U}\). Peut-on trouver \(a \in \R\) tel que ...
exo7 3
Écrire sous la forme \(a+ib\) les nombres complexes suivants :
exo7 3056
Soient \(n,p \in \N^*\) avec \(n < p!\). Montrer qu’il existe un unique ...
exo7 3065
Soient \(a\in\Z\) et \(b\in\N^*\). Montrer que : ...
exo7 3066
Soit \(a \in \Q^+\) tel que \(\sqrt a \notin \Q\).
Montrer qu’il existe ...
exo7 3073
On note \(x_n = (\sqrt3 + 1)^{2n+1}\), \(y_n = (\sqrt3 - 1)^{2n+1}\), et ...
exo7 3090
Soit \(n\in\N\), \(n\ge 2\). Montrer que si ...
exo7 3091
Soit \(p \in \N\) premier. Montrer que pour \(1 \le k \le p-1\), ...
exo7 3099
Soient \(a,b \in \Z\) et \(n \in \N^*\). Montrer que : ...
exo7 3144
Soit \(x=\frac pq \in \Q^*\) avec \(p,q\) entiers, ...
exo7 332
Trouver tous les points à coordonnées entières de la droite de l’espace d’équations ...
exo7 334
Un coq coûte \(5\) pièces d’argent, une poule \(3\) pièces, et un lot de quatre p ...
exo7 339
Soit \(p\) un nombre premier.
exo7 3417
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3435
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Démontrer que : ...
exo7 3474
Soit \(M = \Bigl(\cos (i+j-1)\theta \Bigr) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Déterminer ...
exo7 3481
Soit \(M=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\C)\). On dit que \(M\) est à diago ...
exo7 3501
Soit ...
exo7 3827
Calculer le minimum sur \(\R^2\) de ...
exo7 3891
Calculer \(\ch(a+b)\), \(\sh(a+b)\), ...
exo7 3892
Soient \(a,b \in \R\) non tous deux nuls.
exo7 3898
Soient \(a,b\in \R\). Étudier l’existence de solutions pour le système : ...
exo7 3899
Soit \(y \in \left]-\frac \pi2, \frac \pi2\right[\). On pose ...
exo7 3905
Résoudre les équations suivantes :
exo7 3906
Résoudre : \(\cos\theta + \cos(\theta + \pi/3) > 0\).
exo7 3907
\(2\cos^2\theta = 1 + \cos2\theta\).
...
exo7 3908
Soient \(\alpha,\beta,\gamma \in \R\) tels que \(\alpha+\beta+\gamma = \pi\).
exo7 3909
Montrer qu’il existe \(\theta \in {]0, \frac \pi2 [}\) tel que pour tout ...
exo7 3910
Calculer \(\tan p - \tan q\). En déduire la valeur de ...
exo7 3911
Simplifier \(\sum_{k=0}^{n-1} 3^k\sin^3\left(\frac\alpha{3^{k+1}}\right)\).