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Calculer \(\mathrm{cotan} x - 2\mathrm{cotan}2x\). Simplifier ...

Soit \(ABCDEFG\) un heptagone (7 côtés) plan régulier. On pose \(\alpha = AB\), ...

Le langage “Pascal” ne dispose pas des fonctions \(\arcsin\) et \(\arccos\). Défi ...

Soient \(a,b \in \R\). Simplifier \(\arctan a + \arctan b\).

Résoudre l’équation : \(\arcsin x = \arccos \frac13 - \arccos \frac14\).

Soit \(x = \arcsin \frac{1+\sqrt5}4\). Calculer \(\cos 4x\) et en déduire ...

Simplifier \(\arctan \frac {1-x}{1+x}\).

Existe-t-il une fonction \(f : D \to \R\) telle que : ...

Simplifier \(\cos(3\arctan x)\) et \(\cos^2\left(\frac 12\arctan x\right)\).

Simplifier \(\arccos(\cos x) - \frac 12\arccos(\cos 2x)\) pour ...

Résoudre : ...

Simplifier \(\frac x2 - \arcsin\sqrt{\frac{1+\sin x}2}\) pour ...

Simplifier \(\cos(\arctan(\sin(\arctan \frac1x)))\).

Montrer que : \(4\arctan\frac 15 - \arctan \frac 1{239} = \frac \pi4\).

Montrer que : \(\forall\ x \in \R,\ \arctan x + 2\arctan\bigl(\sqrt{1+x^2} - x\bigr) = \frac \pi2\).

Soit \(a \in \left[0,\frac \pi2\right[\). On pose ...

Calculer la dérivée \(n^{\text{ème}}\) de la fonction \(x \mapsto \cos^3 x\). ...

Soient \(x_1, x_2, \dots, x_n > 0\). Montrer que ...

Soit \(n \ge 3\) et \(A_1A_2\dots A_n\) un polygone convexe à ...

Soit \(f : {[-a,a]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). Montrer que :

...

Problème d’ajustement linéaire : Etant donné \(n\) couples de réels ...

Trouver \(\lim_{n\to\infty} \frac 1{n+1} + \frac 1{n+2} + \dots + \frac 1{kn}\) pour ...

Soit \(\alpha \in\, ]0,\pi[\) et ...

Calculer par récurrence : \(I_n = \int_{t=0}^1 \frac{t^n\,d t}{\sqrt[4]{t^3(1-t)}}\).

Calculer \(\int_{t=1}^{+\infty} \frac{t-[t]}{t^2} \,d t\) en fonction de la constante d’Euler.

Montrer que pour \(0 \le x \le \sqrt n\) on a : ...

Calculer \(\frac{\frac{1+i\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt2(1+i)}{2}}\) algébriquement, puis trigonométriquement. En déduir ...

Résoudre dans \(\C\) :

Calculer les sommes des séries suivantes :

On admet que \(\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6\). Calculer ...

Pour quelles valeurs de \(a,b\in \R\) la série de terme général ...

Montrer que \(\sum_{k=0}^\infty \Arctan\Bigl(\frac1{k^2+k+1}\Bigr) = \frac \pi2\). (On pourra calculer ...

Soient \(k,p \in \N\) avec \(k \le p\). Montrer que ...

On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\arccos(\cos nx)}{n!}\).

[\(x\in\,]0,\pi[\), TPE MP 2005]

Quel est le coefficient de \(x^n\) dans ...

Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) et tout nombre \(z\in\mathbb{C}\), on ...

Pour \(a,b\in\R\) avec \(b\not\equiv 0(\mathrm{mod}\,{\pi})\), vérifier l’identit ...

Soit \(a\in \Rr\), montrer : ...

Montrer que : \(\forall\ x \in \R,\ |\sin x| = \frac8\pi\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2nx}{4n^2-1}\).

Déterminer (s’ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand élément, le plus petit élément ...

Soit \((u_n)\) une suite réelle convergeant vers \(\ell \in \R\). La ...

Soit \[I = \left\lbrace x \in \Rr \ | -2 < x +\frac{1}{2x} \le 2 \right\rbrace.\]

Démontrer, sans utiliser la fonction \(\ln\), que ...

Soit \(x\in\R\). Chercher ...

Soit \(\theta \in \R\). Montrer que si ...

Les ensembles suivants ont-ils une borne supérieure, un plus grand élément, une borne inférieure, un plus petit élément, dans ...

On considère l’ensemble des nombres de la forme \(1+\frac{1}{n}\), où \(n\) décri ...

Calculer la somme \(S_n = 1+z+z^2+\cdots+z^n\).

Étant donné un ensemble \(A \subset\mathbb{R}\), écrire avec des quantificateurs les propriétés suivantes :