Texte officiel du programme
Cette section a pour objectif d’établir les principales propriétés de l’intégrale d’une fonction continue sur un segment de manière à achever la justification des propriétés présentées dans la section « Techniques fondamentales de calcul en analyse ». Elle offre l’occasion de revenir sur les techniques de calcul intégral, mais aussi de traiter des exercices d’esprit plus théorique.
Les méthodes de calcul approché d’intégrales donnent l’occasion de revenir sur la problématique de l’approximation. On pourra ainsi comparer les performances de la méthode des rectangles et de celle des trapèzes.
La construction de l’intégrale n’est pas un attendu du programme, mais les étudiants doivent avoir été sensibilisés à cette problématique.
- a) Fonctions en escalier 1
- b) Intégrale d’une fonction continue sur un segment 365
- c) Sommes de Riemann 18
- d) Lien entre intégrale et primitive 43
- e) Inégalité de Taylor-Lagrange 3
- f) Brève extension au cas des fonctions à valeurs complexes 17
exo7 5925
Le but de cette question est de montrer que \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt\) n’est pas absolument ...
exo7 6175
Montrer que toute fonction réglée sur \([0,1]\) s’approche uniformément par des fonctions en escalier.
exo7 6204
On désigne par \(E\) l’espace \(C([-1,1])\) muni de la norme uniforme et par ...
exo7 6210
Soit \(E=\Rr^n\) muni de sa norme euclidienne et \(f\) une application continue d ...
exo7 6331
Soit \(u,v\) deux applications de \([0,\beta]\) dans ...
exo7 6731
Calculer \(\int_C(x+2y)\ dx+(y-2x)\ dy\) le long de l’ellipse \(C\) définie par ...
exo7 6736
Soit \(f(z)={1\over 1+z^4}\). Montrer que \(\int_{\gamma _R}f(z)\ dz\) tend vers ...
exo7 6739
Soit \(f\) une fonction continue du quart de plan \(\{x+iy;\ x,y\geq0\}\) dans ...
exo7 6740
Soit \(w=|w|e^{i\theta}\) un nombre complexe.
exo7 6864
Calculer les primitives suivantes par intégration par parties.
exo7 6867
Calculer les intégrales suivantes :
exo7 737
Soit \(f\in C^{1}([0;1],{\Rr}),\)telle que \(f(0)=0.\) Calculer : ...
exo7 7452
On considère dans le plan euclidien muni d’un repère orthonormé la courbe \(C\) d’équation polaire ...
exo7 7599
Paramétrer le cercle unité parcouru dans le sens trigonométrique.
exo7 7607
On paramètre le cercle \(C_r\) privé du point \({-r}\) de centre ...
exo7 778
Déterminer les fonctions \(f\) de \([a, b]\) dans ...
exo7 779
Soient \(f \in C^{1} ([a, b], \Rr)\) et ...
exo7 780
Soient \(0<a \leq b\). Montrer que ...
exo7 781
Soit \(f \in C^{0} ([0, 1], \Rr)\) telle que \(\int_{0}^{1}{f (t)dt} = \frac 12\) ...
exo7 782
Soit \(f \in C^0 (\Rr)\). On définit \({g} : {\Rr^*} \to {\Rr}\), ...
exo7 783
Soit \(f\) continue de \([0,1]\) dans ...
exo7 784
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) une application continue strictement croissante telle que : ...
exo7 785
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) une application continue, n’admettant qu’un nombre fini de zéros sur ...
exo7 787
Soit \(f\) continue sur \([0,\pi ]\) telle que ...
exo7 788
Soit \(f\in C([0,1],{\Rr})\) telle que : ...
exo7 789
Soit \(f\) une fonction \(C^{1}\) sur \([a,b]\) ...
exo7 790
Soit \(f\) continue sur \([0,1]\) à valeurs dans ...
exo7 791
Soit \((a,b)\in {\Rr}^{2}\) (\(a<b\)), et ...
exo7 792
Calculer sans utiliser de primitive, pour \(a<b\) : \[\int_{a}^{b}e^{t}dt.\] ...
exo7 793
Soit \(f\) continue de \([0,1]\) dans \({\Rr}\) ...
exo7 794
Soient \(f\) et \(g\) de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 795
Calculer : \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}\frac{e^{t}}{1+t^{n}}dt.\] Éventuellemment, en donner ...
exo7 796
Calculer : \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}\frac{e^{-nx}}{1+x}dx.\] Soit ...
exo7 797
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) une application continue par morceaux, continue en ...
exo7 798
Dire (avec justification) si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
exo7 799
Soit \(\varphi\) une fonction bornée sur \([a,b]\) ; comparer les assertions suiv ...
exo7 800
Soit \(f\) une fonction continue et strictement croissante de \([a,b]\) sur ...
exo7 801
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions intégrables sur ...
exo7 803
Soit \(f\) définie et continue sur \([0,+\infty\mathclose[\), vérifiant ...
exo7 812
Considérons l’intégrale \[I=\int_0^{\ln 2}\sqrt{e^x-1}\, dx\] Effectuer le changement de variables ...
exo7 816
Soit \(I_{n} = \int_{0}^{1}{ (1-t^2)^n dt}\).
exo7 817
Soit \(f \in C^{2} ([a, b], \Rr)\).
exo7 818
Soit \(I_{n} = \int_0^{\frac{\pi}2} \sin ^n tdt\).
exo7 819
Soit \(I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}dx\).
exo7 820
Calculer par récurrence : \[I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{du}{\cos ^{n}u}.\]
exo7 821
Calculer par récurrence : \[J_{n}=\int_{1}^{e}\log (u)^{n}du.\]
exo7 825
Calculer les intégrales de fractions rationnelles suivantes.
exo7 830
Calculer les primitives suivantes : ...
exo7 835
Calculer \(\int_{0}^{1}{\ln (1 + x^2)}\).
exo7 836
Déterminer \(\lim \limits_{n \rightarrow + \infty} (\sum\limits_{k = 0}^n \frac{ n}{n^2 + k^2})\).