Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
Matrices et déterminants
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- présenter les liens entre applications linéaires et matrices, de manière à exploiter les changements de registres (géométrique, numérique, formel) ;
- étudier l’effet d’un changement de bases sur la représentation matricielle d’une application linéaire et d’un vecteur ;
- introduire la notion de déterminant d’une famille de vecteurs, en motivant sa construction par la géométrie ;
- établir les principales propriétés des déterminants des endomorphismes et des matrices carrées, et indiquer quelques méthodes simples de calcul.
exo7 898
Les familles suivantes sont-elles libres ?
exo7 904
Soient les vecteurs \(e_1=(1,2,3,4)\), \(e_2=(1,-2,3,-4)\) de ...
exo7 913
Soit \(E\) un \({ \Cc}\)-espace vectoriel et ...
exo7 968
Soient \(P=\{ (x, y, z)\in \R ^3 ; 2x+y-z=0\}\) et ...
exo7 978
On désigne par \(\mathcal{P}_q\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal ...
exo7 979
Montrer que les vecteurs ...
exo7 989
Dans \(\mathbb{R}^4\), on considère les familles de vecteurs suivantes
...
exo7 997
Soit \((\Sigma )\) le système d’équations linéaires : ...
Interprétation de filtres classiques
On donne les quatre noyaux suivants : ...
Inverse de matrice
Soient les matrices ...
Inverse de matrice et application
Soient les matrices ...
Inversibilité de matrices
Soit la matrice ...
Inversibilité de matrices
On considère les matrices: ...
Inversiblité de matrice
VRAI-FAUX - Soit \(A\) une matrice carrée. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles so ...
Inversion d'une matrice
Soit ...
Matrices de permutation et signature
Une matrice de permutation est une matrice carrée qui contient exactement un \(1\) par ligne et un ...
Matrices inversibles
Les matrices suivantes sont-elles inversibles? Dans l’affirmative, déterminer la matrice inverse. ...
Matrices inversibles
Déterminer \(a\) tel que la matrice ...
Matrices inversibles
Dire si les matrices suivantes sont inversibles. Si oui, donner leur inverse :
...
Matrices, déterminants et inversion
Un système de communication encode des messages en transformant des vecteurs \(V \in \mathbb{R}^3\) en vecteurs co ...
Noyaux séparables et gain de calcul
Un noyau \(K\) de taille \(k \times k\) est dit séparable s’il p ...
Produit matriciel
Soient les matrices \(A=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\) et ...
Produit matriciel
On considère les matrices suivantes: ...
Produit matriciel et inverse
Soient \(A=\begin{pmatrix}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{pmatrix}\) et ...
Puissance d'une matrice à paramètres
Soit la matrice de ...
Racine carrée d'une matrice
On considère la matrice \[A= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & 9 \end{pmatrix}.\]
Résolution d'un système linéaire
Soit la matrice ...
Résolution d'équation matricielle
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices définies par ...
Résolution de système linéaire
Résoudre le système : ...
Système linéaire paramétré
Soit \(\lambda \in \mathbb{R}\). On considère le système linéaire : ...
Système linéaire à paramètre
Soit ...
Systèmes à paramètre
Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de \(\lambda\) les systèmes suivants sont de Cramer. Résoudre alors les systèm ...
Trace de matrices
On rappelle que si \(A=\left(a_{i j}\right)_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq n}}\), alors la trace de ...
Triangularisation et décomposition nilpotente
Soit \(A\) la matrice ...
Étude d'une application linéaire
On considère l’application linéaire \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) définie par ...
Étude d'une application linéaire
On considère l’application linéaire \(f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\) définie par
...
Étude d'une matrice à paramètres
Soit la matrice ...