On considère l’application linéaire \(f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\) définie par
\[f(x,y,z)=(2x+y,x+2y,z).\]
1
Déterminer la matrice de \(f\) dans la base canonique.
2
Calculer le polynôme caractéristique de cette matrice.
3
Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres.
4
Montrer que \(f\) est diagonalisable.
5
Déterminer une base de vecteurs propres de \(\mathbb{R}^3\).