On considère l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique est
\[A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.\]
1
Calculer le polynôme caractéristique de \(A\).
2
Déterminer les valeurs propres de \(A\).
3
Déterminer une base de chaque sous-espace propre.
4
Montrer que \(A\) est diagonalisable.
5
Déterminer une matrice diagonale \(D\) semblable à \(A\) ainsi qu’une matrice de passage \(P\).
6
En déduire l’expression de \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).