Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral
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Le point de vue adopté dans cette section est pratique : il s’agit, en prenant appui sur les acquis du lycée, de mettre en œuvre les techniques de base de l’analyse. La mise en place rigoureuse des notions abordées fait l’objet de sections ultérieures.
Les objectifs de formation sont les suivants :
- l’introduction de fonctions pour établir des inégalités et résoudre des problèmes d’optimisation ;
- la manipulation des fonctions classiques dont le corpus est étendu ;
- le calcul de dérivées et de primitives ;
- la mise en pratique, sur des exemples simples, de l’intégration par parties et du changement de variable ;
- l’application des deux points précédents aux équations différentielles.
Le cours sur les équations différentielles est illustré par des exemples issus des autres disciplines scientifiques.
- A - Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles ou complexes 387
- B - Primitives et équations différentielles linéaires 284
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Calculer par récurrence : \[J_{n}=\int_{1}^{e}\log (u)^{n}du.\]
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Calculer les primitives suivantes : ...
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Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[x\cos^2 x\] ...
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Décomposer les fractions rationnelles suivantes ; en calculer les primitives.
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Calculer les intégrales de fractions rationnelles suivantes.
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Calculer les primitives suivantes : ...
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Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : ...
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Calculer les primitives suivantes : ...
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Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[\frac{\cos^3 x}{\sin x}\] ...
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Calculer les primitives suivantes : ...
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Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[\frac{8x-3}{\sqrt{12x-4x^2-5}}\] ...
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Calculer les primitives suivantes.
exo7 833
Calculer les primitives suivantes : ...
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Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[\text{ch}x \sin (2x)\] ...
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Calculer \(\int_{0}^{1}{\ln (1 + x^2)}\).
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Soient \(I = \int_0^\pi x\cos^2xdx\) et \(J =\int_0^\pi x\sin^2xdx\).
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Résoudre les équations différentielles suivantes :
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Pour chacune des équations différentielles qui suit : écrire la solution passant par le point M(.,.) et tracer sommairement le graphe de la solutio ...
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On se propose d’intégrer sur l’intervalle le plus grand possible contenu dans \(]0, \infty[\) l’équation différent ...
exo7 848
Trouver les solutions réelles des équations différentielles suivantes :
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Trouver les solutions réelles des équations différentielles suivantes :
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Trouver les solutions réelles sur l’intervalle maximal de l’équation différentielle : \[t^2y'+y = 1.\]
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Soit l’équation différentielle \[(E)\qquad y'+2xy = x.\]
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Résoudre et raccorder éventuellement :
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Résoudre le système différentiel : ...
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Résoudre l’équation différentielle de Ricatti \(x^2y' = x^2y^2 + xy + 1\) en trouvant une solution particulièr ...
exo7 855
Soit l’équation différentielle : \[(E):\frac{dy(x)}{dx}+y(x)=x^{2}+2x\] Intégrer ...
exo7 856
On considère l’équation différentielle suivante : \[(E)\qquad y'-(1-\tan(x))y=\cos(x).\] On s’intéresse à cet ...
exo7 857
Soit \(f\in C^{1}({\Rr},\Cc),\alpha \in {\Rr}^{+*}.\) Montrer que si : ...
exo7 858
Soit \(f \in C^{1}({\Rr},{\Rr})\) telle que \(f(0)=1\) et ...
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Résoudre les équations différentielles du second ordre suivantes :
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Résoudre les équations différentielles du second ordre suivantes :
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On considère l’équation homogène \((E) \ \ ay''+by'+cy=0\), avec ...
exo7 862
Résoudre l’équation : \[y^{\prime\prime} +k^2y = \cos{mx}, \quad k,m \in \R.\] On discutera suivant les valeurs d ...
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Résoudre l’équation suivante : \[y^{\prime\prime}- 3y^\prime + 2 y = e^x.\]
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Résoudre l’équation suivante : \[y^{\prime\prime}- y =-6\cos x + 2x\sin x.\]
exo7 865
Résoudre l’équation suivante : \[4y^{\prime\prime}+4y^\prime + 5y = \sin x e^{-x/2} .\]
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On considère l’équation : \[y^{\prime\prime} + 2y^\prime + 4y = xe^x \qquad (E)\]
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Soit \(m \in \R\). Déterminer la solution de l’équation : ...
exo7 868
On considère l’équation différentielle : \[y''+6y'+9y=d(x) \quad (E)\]
exo7 869
Déterminer une équation différentielle vérifiée par la famille de fonctions ...
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Déterminer une équation différentielle admettant \((r-2)^2=0\) comme équation caractéristique et ...
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Déterminer l’ensemble des solutions réelles des équations :
a) \(y^{\prime\prime}+ y^\prime -6y=e^{3x}\),
b) ...
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On considère l’équation différentielle suivante : \[(E.D.) \quad y''-4y'+4y = d(x),\] où ...
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Résoudre sur \(\Rr\) :
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Trouver les \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) deux fois dérivables telles que ...
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Résoudre sur \(]0, + \infty[\) \(xy''-y'-x^3y = 0\) en posant ...
exo7 876
Résoudre en posant \(z (t) = y (e^t)\) ou \(y (-e^t)\) suivant le signe de ...
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Résoudre l’équation différentielle de Bernouilli \(x^2y^2-xy'-3y = 0\) en supposant que ...
exo7 878
Résoudre sur \({\Rr }\) : ...