Programme de mathématiques PT
b) Courbes paramétrées du plan et de l’espace
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Courbe paramétrée par une fonction de classe $\mathscr{C}^1$ à valeurs dans $\mathbb{R}^2$ ou $\mathbb{R}^3$. | Notation $t \mapsto M(t)$. |
Tangente en un point $M(t_0)$. | Sous réserve d’existence, la tangente est dirigée par $\displaystyle \lim_{t \to t_0} \overrightarrow{v}(t)$ avec $\overrightarrow{v}(t)$ un vecteur unitaire dirigeant la corde $[M(t_0)M(t)]$. |
Point régulier, courbe régulière. | |
Vecteur tangent en un point régulier. | Détermination d’une équation ou d’un paramétrage de la tangente. |
Orientation d’une courbe. | L’orientation d’une courbe régulière peut se faire par le choix d’un vecteur unitaire dirigeant la tangente ou par celui d’un sens de parcours de la courbe. |
exo7 5001
On se place dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé. Donner l’ensemble des trajectoires orthogonales de la famille des cercle ...
exo7 5025
Soit la courbe paramétrée par : \(x = 2t^3+3t^2\),\(y = 3t^2+6t\). Calculer la lo ...
exo7 5032
Soit \(\mathcal{C}\) la courbe d’équations paramétriques ...
exo7 5033
On considère la courbe \(\mathcal{C}\) d’équation polaire ...
exo7 5040
Construire la courbe \(\mathcal{C}\) d’équations paramétriques : \(x=3t-t^3\), ...
exo7 5041
Déterminer la développante de la chainette \(\mathcal{C}\) d’équation ...
exo7 5042
On considère la courbe \(\mathcal{C}\) définie par : \(x(t) = \frac{t^4}{1+t^2}\) ...
exo7 5062
Soit \((\Gamma)\) : ...
exo7 5523
(**) L’astroïde.
exo7 5524
Construire les courbes de paramétrisations :
exo7 5525
La courbe orthoptique d’une courbe \((\mathcal{C})\) est le lieu des points du plan d’où l’on peut mener (au moins ...
exo7 5526
Trouver les droites à la fois tangentes et normales à l’arc paramétré : ...
exo7 5527
Dans chacun des cas suivants, trouver une paramétrisation rationnelle de la courbe proposée puis construire
...
exo7 5528
Trouver une équation cartésienne des supports des arcs suivants :
exo7 5529
Soit \(T\) l’intersection de \((Ox)\) et de la tangente en ...
exo7 5530
Construire les courbes suivantes :
exo7 5532
Soit la courbe d’équation polaire \(r=a(1+\cos\theta)\), \(a>0\).
exo7 5818
Déterminer l’orthoptique d’une parabole, c’est-à-dire l’ensemble des points du plan par lesquels il passe deux tangentes à la parabole qui soient p ...
exo7 6398
Soient \(\xi(t)\) et \(\eta(t)\) deux courbes paramétrées de ...
exo7 6731
Calculer \(\int_C(x+2y)\ dx+(y-2x)\ dy\) le long de l’ellipse \(C\) définie par ...
exo7 6983
Étudier et tracer les courbes paramétrées suivantes:
exo7 6985
Montrer que la courbe paramétrée ...
exo7 6986
Montrer que la courbe paramétrée ...
exo7 6987
On considère la courbe paramétrée définie par ...
exo7 6988
Trouver les droites à la fois tangentes et orthogonales à la courbe ...
exo7 6989
Étudier les courbes d’équations polaires suivantes:
exo7 6990
On considère les courbes \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\) (des li ...
exo7 7452
On considère dans le plan euclidien muni d’un repère orthonormé la courbe \(C\) d’équation polaire ...
exo7 7599
Paramétrer le cercle unité parcouru dans le sens trigonométrique.
exo7 805
Construire la courbe paramétrée ...
exo7 808
On appelle cycloïde la courbe décrite par un point d’un cercle de rayon \(R\), lié à ce cercle, quand cel ...
exo7 810
Soit \(C\) un cercle fixe de rayon \(R\). Un cercle ...
Gradient et lignes de niveau
On considère une colline modélisée par la fonction altitude \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par : ...