Programme de mathématiques PT
a) Éléments propres d’un endomorphisme, d’une matrice carrée
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Droite stable par un endomorphisme. | |
Valeur propre, vecteur propre (non nul), sous-espace propre d’un endomorphisme en dimension quelconque. | Équation aux éléments propres $f(x) = \lambda x$. |
Spectre d’un endomorphisme en dimension finie. | Notation $\operatorname{Sp}(f)$. |
La somme d’une famille finie de sous-espaces propres d’un endomorphisme est directe. | Toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre. |
Valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre et spectre d’une matrice carrée. | Équation aux éléments propres $AX = \lambda X$. Notation $\operatorname{Sp}(A)$. |
exo7 2613
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\). On cherche à déterminer une ma ...
exo7 2615
Questions préliminaires :
exo7 2761
Soit \(f~:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\) l’application linéaire définie par ...
exo7 2763
Rechercher les valeurs propres et vecteurs propres des matrices suivantes : ...
exo7 2764
Trouver une matrice carrée inversible \(P\) telle que \(B = PAP^{-1}\) soit diago ...
exo7 2765
Soit la matrice ...
exo7 2766
Soit la matrice ...
exo7 2767
On considère la matrice ...
exo7 2777
Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice ...
exo7 3029
On dit que \(K\) est un corps gauche si \((K,+,\times)\) est un anneau et si ...
exo7 3326
Soit \(\mathbb{A}\) une \(\R\)-algèbre commutative, intègre et de dimension finie ...
exo7 3379
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{p,n}(K)\). On note ...
exo7 3389
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) avec : ...
exo7 3496
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3497
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3498
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3499
Chercher les valeurs propres des matrices :
exo7 3500
Soient \(a_1,\dots,a_n \in \R\).
Chercher les valeurs et les vecteurs propres de la matrice ...
exo7 3501
Soit ...
exo7 3504
Diagonaliser ...
exo7 3505
Diagonaliser la matrice ...
exo7 3506
Soit ...
exo7 3508
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) telle que la somme des coefficients par ligne est constante ( ...
exo7 3509
Soit \(M=(m_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que : ...
exo7 3511
Soit \(E = K_n[X]\) et \(u : E \to E, P \mapsto {(X-a)P'.}\) Chercher les v ...
exo7 3512
Soit \(E = K_{2n}[X]\) et \(u : E \to E, P \mapsto {X(X-1)P'-2nXP.}\) Cherc ...
exo7 3513
Soient \(\alpha, \beta, \gamma \in K\) distincts, et ...
exo7 3514
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme \(\theta : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(2-X).}\)
exo7 3515
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme \(\theta : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(X+1) - P'.}\) ...
exo7 3516
Soit \(f \in \mathcal{L}({\R_n[X]})\) qui à \(P\) associe ...
exo7 3518
Soit ...
exo7 3519
Soit \(E = \{ f : \R \to \R \text{ continues}\) tq \(f(x)\to 0\) lorsque ...
exo7 3520
Soit \(E\) le sous-espace vectoriel de \(\mathcal{C}(\R^+,\R)\) des fonctions aya ...
exo7 3521
Soit \(E = \mathcal{C}([0,+\infty[ \to\R)\) et ...
exo7 3522
Soit \(E\) l’espace vectoriel des suites réelles \(u=(u_n)_{n\ge 1}\) et ...
exo7 3523
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) et \(f : E \to E, u {\tilde u}\) avec ...
exo7 3525
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et \(\lambda \in K\) une valeur propre de ...
exo7 3527
Soit \(A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(a_{ij} = \frac ij\). ...
exo7 3530
On considère la matrice de \(M_n(\C)\), ...
exo7 3534
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que ...
exo7 3535
Soient \(A,B\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer l’équivalence entre :
(a) : ...
exo7 3537
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\).
exo7 3541
Donner une CNS sur \(a,b\in\C\) pour que la matrice ...
exo7 3542
Trouver les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que \(A^2 = A\) et ...
exo7 3543
Soient \(E\) un ev de dimension finie sur \(\C\) et ...
exo7 3545
Soit \(E = K_n[X]\) et \(u : E \to E, P \mapsto {X^nP(1/X).}\)
exo7 3547
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\) tel que ...
exo7 3550
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 3551
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^3 = A + I\). Montrer que ...
exo7 3552
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^3 + A^2 + A = 0\). Montrer que ...