Programme de mathématiques PT
b) Séries absolument convergentes à termes réels ou complexes
Rechercher dans cette partie du programme108 exercices
Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Convergence absolue de la série numérique $\sum u_n$. | Le critère de Cauchy est hors programme. |
Une série numérique absolument convergente est convergente. | Somme d’une série absolument convergente. |
Pour $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites complexes : – si $\lvert u_n\rvert \leqslant \lvert v_n\rvert$ à partir d’un certain rang, la convergence absolue de $\sum v_n$ implique celle de $\sum u_n$ ; – si $u_n = O(v_n)$, la convergence absolue de $\sum v_n$ implique celle de $\sum u_n$ ; – si $u_n \sim v_n$, la convergence absolue de $\sum v_n$ équivaut à celle de $\sum u_n$. | Le résultat s’applique en particulier lorsque $u_n = o(v_n)$. |
Règle de d’Alembert. | |
Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. | La démonstration n’est pas exigible. |
exo7 819
Soit \(I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}dx\).
exo7 840
Calculer : ...
exo7 841
Calculer : ...
Série télescopique cachée et équivalent
Pour tout entier \(n\geq 1\), on pose ...
Série télescopique et décomposition en éléments simples
On considère la série \[\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}.\]
Étude de séries numériques (1)
Dans chacun des cas, dire si la série de terme général \(u_n\) est absolument convergente, semi-convergente, diver ...
Étude de séries numériques (2)
Dans chacun des cas, dire si la série de terme général \(u_n\) est absolument convergente, semi-convergente, diver ...
Étude d’une famille de séries à l’aide d’une rationalisation
Pour tout \(\beta\in\mathbb{R}\), on considère la suite définie pour tout ...