Pour tout entier \(n\geq 1\), on pose \[u_n=\arctan\left(\frac1n\right)-\arctan\left(\frac{1}{n+1}\right).\] On considère la série \(\sum_{n\geq 1} u_n,\) et on rappelle que pour tout \(x\) réel, \[\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2}.\]
1
Montrer que, pour tout \(n\geq 1\), on a \(u_n\geq 0\).
2
Donner le développement en série entière en \(0\) de \(x \mapsto \frac{1}{1+x^2}\).
3
En déduire le développement en série entière en \(0\) de \(x\mapsto \arctan(x)\).
4
Démontrer que pour \(x\) proche de \(0\), \(\arctan(x)=x+o(x^2)\).
5
Déterminer un équivalent simple de \(u_n\) lorsque \(n\to+\infty\).
6
Établir la convergence de la série \(\sum u_n\) en la comparant à une série de Riemann.
7
Montrer que la série \(\sum u_n\) est télescopique et calculer sa somme.