Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
d) Trigonométrie
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Cercle trigonométrique. Paramétrisation par cosinus et sinus. | |
Relation de congruence modulo $2\pi$ sur $\mathbb{R}$. | Notation $a\equiv b\ [2\pi]$. |
Cosinus et sinus de $\pi\pm x$, de $\frac{\pi}{2}\pm x$. Cosinus et sinus des angles usuels. | Les étudiants doivent savoir retrouver ces résultats et résoudre des équations et inéquations trigonométriques simples en s’aidant du cercle trigonométrique. |
Formules d’addition $\cos(a\pm b)$, $\sin(a\pm b)$. Cas particulier des formules de duplication : $\cos(2a)$, $\sin(2a)$. | On présente une justification géométrique de l’une de ces formules. Les étudiants doivent savoir retrouver rapidement les formules donnant $\cos(a)\cos(b)$, $\cos(a)\sin(b)$, $\sin(a)\sin(b)$. |
Fonctions circulaires cosinus et sinus. | On justifie les formules donnant les fonctions dérivées de sinus et cosinus vues en classe de terminale. |
Pour $x\in\mathbb{R}$, inégalité $\lvert\sin(x)\rvert\leqslant\lvert x\rvert$. | |
Fonction tangente. | Notation tan. Dérivée, variations, représentation graphique. |
Tangente de $\pi\pm x$. Tangente des angles usuels. Formule d’addition $\tan(a\pm b)$. | Interprétation sur le cercle trigonométrique. |
exo7 5521
Déterminer les différents angles d’un tétraèdre régulier (entre deux faces, entre deux arêtes et entre une arête et une face).
exo7 5523
(**) L’astroïde.
exo7 5530
Construire les courbes suivantes :
exo7 5547
\((\mathcal{C})\) est le cercle de diamètre \([A,B]\). ...
exo7 5551
Soit \((\mathcal{H})\) une hyperbole équilatère de centre \(O\) et ...
exo7 575
Calculer suivant les valeurs de \(x\) : ...
exo7 5820
\((\mathcal{C})\) est le cercle de diamètre \([AB]\). ...
exo7 5823
Soit \((\mathcal{H})\) une hyperbole équilatère de centre \(O\) et ...
exo7 5832
Montrer que l’arc paramétré ...
exo7 5850
Calculer \(\underset{\alpha\in]0,\pi[}{\text{Inf}}\left\{\underset{n\in\Zz}{\text{Sup}}|\sin(n\alpha)|\right\}\). ...
exo7 674
On admet que pour tout \(x\in \mathbb{R} , \vert \sin x \vert \leq \vert x\vert .\)
exo7 6863
Calculer l’aire intérieure d’une ellipse d’équation : \[\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2} = 1.\]
Indica ...
exo7 6974
Soit \(z=x+iy\) un nombre complexe, où \(x=\Re z\) et ...
exo7 6983
Étudier et tracer les courbes paramétrées suivantes:
exo7 701
Calculer la fonction dérivée d’ordre \(n\) des fonctions \(f,g,h\) définies par : ...
exo7 7018
Montrer : \(\forall u\in \R, \forall n\in \N, |\sin(nu)|\leq n|\sin(u)|\).
exo7 7050
Soit \(ADC\) un triangle équilatéral et \(B\) le symétrique de ...
exo7 7060
Soit \([AB]\) un segment et \(M\), \(N\) deux po ...
exo7 7063
On donne deux cercles \(\mathcal C\) et \(\mathcal C'\) de rayons distincts, ...
exo7 7069
À l’extérieur d’un triangle \(BOA\) on construit deux triangles rectangles :
Le triangle ...
exo7 7070
On considère un carré \(ABCD\), et un cercle \(\mathcal C\) passant par ...
exo7 7071
Soit \(A\) un point quelconque du diamètre d’un cercle \(\mathcal C\) et ...
exo7 7072
Soit \(ABC\) un triangle et \(I\) le centre de son cercle inscrit, dont on note ...
exo7 7076
On donne un cercle \(\mathcal C\) (de centre \(O\)), un point ...
exo7 7114
Soit \(ABC\) un triangle isocèle en \(A\), ...
exo7 7118
Soit \(\mathcal C\) un cercle de centre \(O\), ...
exo7 7124
Les bissectrices intérieure et extérieure en \(A\) d’un triangle \(ABC\) non isoc ...
exo7 7125
Soient \(\mathcal C\) et \(\mathcal C'\) deux cercles tangents en un point ...
exo7 7126
Soit \(ABC\) un triangle direct, et \(P\), \(Q\) ...
exo7 7127
Une ligne brisée \(ABCDE\) formée d’angles de 45 degrés est inscrite dans un cercle. Elle partage le disque en deu ...
exo7 7128
Soit \(\mathcal C\) un cercle, \([BC]\) une corde, et ...
exo7 7132
On considère l’énoncé suivant :
Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe, direct. Alors ...
exo7 7133
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral et \(M\) un point du cercle circonscrit appa ...
exo7 7134
Soit \(\Gamma\) un cercle, \(O\) son centre et ...
exo7 7136
Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe. On note \(\mathcal B_A\) (resp. ...
exo7 7139
Soit \(ABC\) un triangle, \(H\) son orthocentre et ...
exo7 7255
Soit \(\theta\) un nombre réel.
exo7 7256
Exprimer \(\cos(a)\cos(b)\) en fonction de \(\cos(a+b)\) et ...
exo7 7257
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation \(\sqrt{3} \cos(x) + \sin(x) = \sqrt{2}\).
exo7 7258
Construire à la règle et au compas un angle de mesure \(\pi/12\).
exo7 7259
On dit qu’un angle est inscrit dans un cercle si son sommet appartient à ce cercle. Démontrer le théorème des angles inscrits :
Deux angles d ...
exo7 7260
Soit \(E\) un plan euclidien orienté, muni d’un repère ...
exo7 7267
Soit \(ABC\) un triangle. Notons \(\Delta_A\), ...
exo7 7280
Montrer que pour tout \(\theta \in \Rr\), on a ...
exo7 741
Écrire sous la forme \(\frac{m}{n}\pi\) avec \(m\in \Z\), ...
exo7 742
Résoudre les équations suivantes :
exo7 743
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation: ...
exo7 744
Soient les fonctions \(f:x\mapsto\arcsin(\sin x)\) et ...
exo7 7455
Le but de cet exercice est de démontrer que le symétrique de l’orthocentre \(H\) d’un triangle non plat ...
exo7 747
Écrire sous forme d’expression algébrique