Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
d) Trigonométrie
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Cercle trigonométrique. Paramétrisation par cosinus et sinus. | |
Relation de congruence modulo $2\pi$ sur $\mathbb{R}$. | Notation $a\equiv b\ [2\pi]$. |
Cosinus et sinus de $\pi\pm x$, de $\frac{\pi}{2}\pm x$. Cosinus et sinus des angles usuels. | Les étudiants doivent savoir retrouver ces résultats et résoudre des équations et inéquations trigonométriques simples en s’aidant du cercle trigonométrique. |
Formules d’addition $\cos(a\pm b)$, $\sin(a\pm b)$. Cas particulier des formules de duplication : $\cos(2a)$, $\sin(2a)$. | On présente une justification géométrique de l’une de ces formules. Les étudiants doivent savoir retrouver rapidement les formules donnant $\cos(a)\cos(b)$, $\cos(a)\sin(b)$, $\sin(a)\sin(b)$. |
Fonctions circulaires cosinus et sinus. | On justifie les formules donnant les fonctions dérivées de sinus et cosinus vues en classe de terminale. |
Pour $x\in\mathbb{R}$, inégalité $\lvert\sin(x)\rvert\leqslant\lvert x\rvert$. | |
Fonction tangente. | Notation tan. Dérivée, variations, représentation graphique. |
Tangente de $\pi\pm x$. Tangente des angles usuels. Formule d’addition $\tan(a\pm b)$. | Interprétation sur le cercle trigonométrique. |
exo7 750
Calculer \[\Arctan \frac{1}{2}+\Arctan \frac{1}{5}+\Arctan \frac{1}{8}.\]
exo7 751
Simplifier les expressions suivantes : ...
exo7 753
Montrer que \(\dfrac{\pi}4 = 4\arctan (\dfrac 15) - \arctan (\dfrac 1{239})\) (on montrera que ...
exo7 756
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation d’inconnue \(x\) : ...
exo7 757
Soit \(f:\Rr^{2}\rightarrow \Rr^{2}\) définie par: ...
exo7 764
Soit \(x\in\R\). On pose \(t=\Arctan(\sh x)\).
exo7 777
Résoudre l’équation \(\tan (3 \arcsin x) = 1\). On exprimera les trois solutions au moyen de radicaux.
exo7 78
On rappelle la formule (\(\theta\in\mathbb{R}\)) : ...
exo7 80
En utilisant les nombres complexes, calculer \(\cos 5\theta\) et \(\sin5\theta\) ...
exo7 805
Construire la courbe paramétrée ...
exo7 809
On appelle épicycloïde la courbe décrite par un point d’un cercle de rayon \(r\), lié à ce cercle, quand ...
exo7 82
Exprimer \((\cos 5x) (\sin 3x)\) en fonction de \(\sin x\) et ...
exo7 822
Calculer les primitives suivantes : ...
exo7 823
Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[x\cos^2 x\] ...
exo7 829
Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[\frac{\cos^3 x}{\sin x}\] ...
exo7 84
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations : ...
exo7 85
Calculer \(\sin (25 \pi/3), \cos (19 \pi/4), \tan (37 \pi/6).\)
exo7 86
Résoudre l’équation : \(2\sin^2x-3\sin x-2=0\), puis l’inéquation : ...
exo7 87
Etudier le signe de la fonction donnée par \(f(x)=\cos 3x+\cos 5x.\)
exo7 88
Simplifier, suivant la valeur de \(x\in [-\pi,\pi]\), l’expression ...
exo7 89
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes: (donner les valeurs des solutions appartenant à ...
exo7 90
A quelle condition sur le réel \(m\) l’équation \(\sqrt{3}\cos(x)+\sin(x)=m\) a-t ...
exo7 91
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes: ...
exo7 915
Soient \(f (x) = \cos (x)\), \(g (x) = \cos (x) \cos (2x)\) et ...
exo7 92
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes: