Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Géométrie du plan et de l’espace
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À l’issue de la terminale, les étudiants connaissent le plan géométrique euclidien et l’espace géométrique euclidien de dimension 3 en tant qu’ensembles de points, la façon d’associer à deux points $A$ et $B$ le vecteur $\overrightarrow{AB}$, ainsi que les propriétés opératoires usuelles. À ce titre, on pourra utiliser la notation $B=A+\vec{u}$, équivalente à $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$.
Cette section permet d’illustrer géométriquement la théorie des systèmes linéaires et de renforcer l’intuition géométrique en lien avec l’étude des espaces vectoriels abstraits. Il convient d’avoir recours à de nombreuses figures en dimension 2 et en dimension 3.
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Soit \(ABC\) un triangle équilatéral direct, et \(P\) un point n’appartenant pas ...
exo7 7167
Soient \(AOB\) et \(COD\) deux triangles directs, isocèles rectangles en ...
exo7 7168
Soit \(ABC\) un triangle non isocèle en \(A\). La bissectrice intérieure ...
exo7 7189
Soit \(E\) l’ensemble des droites du plan. Le parallélisme et l’orthogonalité sont-elles des relations réflexives, ...
exo7 7249
Soient \(P\), \(Q\), \(R\) trois points du plan. ...
exo7 7250
Un diagramme de Voronoï est une famille de parties du plan (ou de l’espace, mais dans cet exercice on se limitera au plan) et de points as ...
exo7 7251
Soit \((A_i, P_i)_{i \in I}\) un diagramme de Voronoï. Si \(i, j \in I\) avec ...
exo7 7252
Que dire de la frontière entre deux cellules de Voronoï ?
exo7 7262
Soit \(E\) un plan et \((0,\vec{\imath},\vec{\jmath})\) un repère. On considère l ...
exo7 7263
Soit \(E\) un plan et \((0,\vec{\imath},\vec{\jmath})\) un repère. Soient ...
exo7 7264
Soit \(E\) un plan euclidien orienté muni d’un repère orthonormé direct ...
exo7 7266
Soit \(ABC\) un triangle dans un plan euclidien orienté \(E\). On notera ...
exo7 7267
Soit \(ABC\) un triangle. Notons \(\Delta_A\), ...
exo7 7268
Soit \(\mathcal{T}\) un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l’angle droit mesurent ...
exo7 7269
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de côté \(a\). Soit ...
exo7 7270
Le théorème de Bolyai affirme que deux polygones de même aire peuvent toujours être obtenus l’un à partir de l’autre par découpage et reco ...
exo7 7271
Une translation transforme-t-elle une droite en une droite qui lui est parallèle ?
exo7 7277
Comment construire, au compas seul, le symétrique d’un point par rapport à une droite? Comment construire à l ...
exo7 7282
Étant données trois longueurs \(a\), \(b\) et ...
exo7 7283
Étant données deux longueurs \(a\) et \(b\), construire à la règle et au compas l ...
exo7 7284
Soit \(\mathcal{C}\) un cercle de centre \(O\) et de rayon ...
exo7 7287
On considère quatre points distincts \(A\), ...
exo7 7288
La notion de «construction au compas» est un peu ambiguë. On distingue:
le compas traçant, qui permet, à partir de deux po ...
exo7 7289
La question de trouver le centre d’un cercle à la règle et au compas a été étudiée à l’exercice [centre-regle-compas ...
exo7 74
Déterminer les nombres complexes \(z\) tels que le triangle ayant pour sommets les points d’affixes ...
exo7 7420
Soit l’espace affine \(\Rr^3\) muni d’un repère affine \(A_0,A_1,A_2,A_3\).
exo7 7422
Soit \(a\) et \(b\) deux réels non nuls distincts. Dans un plan affine muni d’un ...
exo7 7423
Dans un espace affine de dimension \(3\) muni d’un repère affine.
exo7 7424
Dans l’espace affine \(\Rr^2\), on considère le triangle \(ABC\). Choisir un repè ...
exo7 7439
Deux droites se coupent hors de la feuille en un point \(I\). Soit \(A\) un point ...
exo7 7441
Soit \(x_i\) \(n\) nombres réels. Montrer que ...
exo7 7446
Soit \(E\) l’espace vectoriel \(\Rr^3\) muni du produit scalaire canonique et de ...
exo7 7449
Dans le plan euclidien orienté \(\mathcal{P}\), on considère deux demi-droites ...
exo7 7450
Dans le plan euclidien muni d’un repère orthonormé on considère les points ...
exo7 7454
Soit \(A\) et \(B\) deux points fixés dans un plan affine euclidien. Déterminer l ...
exo7 7456
Deux cercles sont dits orthogonaux si les tangentes aux points d’intersection sont orthogonales. Montrer que les cercles ...
exo7 7459
Que peut-on dire d’une isométrie plane qui a trois points fixes non alignés ?
exo7 7461
Soit \(E\) un plan affine euclidien muni d’un repère cartésien orthonormé. Soient ...
exo7 7464
Soit \(C\) un cercle et \(\vec{u}\) un vecteur. Construire une corde ...
exo7 7465
Soit \(d\) une droite. Soit \(\mathcal{C}\) un cercle et ...
exo7 7467
On considére le plan muni d’un un repère orthonormé (\(O, \overrightarrow {\imath},\overrightarrow{\jmath}\)) et l ...
exo7 7469
On considère le plan euclidien muni d’un un repère orthonormé ( ...
exo7 7474
Soit \(E\) un plan affine euclidien muni d’un repère cartésien orthonormé. Soient ...
exo7 7482
Soit \(\mathcal{C}\) un cercle et \(\vec{u}\) un vecteur. Construire une corde ...
exo7 7483
Construire un carré \(ABCD\) sachant que \(A\) et ...
exo7 7484
Soit \(d\) une droite. Soit \(\mathcal{C}\) un cercle et ...
exo7 7486
Étant donné un segment de longueur \(a\) contruire un segment de longueur ...
exo7 7491
Dans l’espace affine \(E\) réel, muni d’un repère cartésien ...
exo7 7493
Dans l’espace affine \(E\) réel, muni d’un repère cartésien ...