Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
Nombres complexes
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L’objectif de cette section, que l’on illustrera par de nombreuses figures, est de donner une solide pratique des nombres complexes, à travers les aspects suivants :
- l’étude algébrique de l’ensemble $\mathbb{C}$ et la notion d’équation algébrique ;
- l’interprétation géométrique des nombres complexes et l’utilisation des nombres complexes en géométrie plane ;
- l’exponentielle complexe et ses applications à la trigonométrie.
- a) Nombres complexes 58
- b) Conjugaison et module 88
- c) Nombres complexes de module 1 et trigonométrie 82
- d) Forme trigonométrique 55
- e) Équations algébriques 71
- f) Racines $n$-ièmes 102
- g) Exponentielle complexe 29
- h) Interprétation géométrique des nombres complexes 62
exo7 9
Représenter sous forme trigonométrique les nombres : ...
exo7 90
A quelle condition sur le réel \(m\) l’équation \(\sqrt{3}\cos(x)+\sin(x)=m\) a-t ...
exo7 93
Montrer que tout nombre complexe \(z\) non réel de module \(1\) peut se mettre so ...
exo7 94
Soit \(u\), \(v\) des nombres complexes non réels tels que ...
exo7 95
Calculer les sommes suivantes : \[\sum_{k=0}^{n}\cos(kx) \quad ; \quad \sum_{k=0}^{n}C_n^k\cos(kx).\]
exo7 96
Soit \(\Zz[i] = \{ a+ib \ ; \ a,b \in \Zz \}\).
exo7 97
Montrer que \(\forall z \in \Cc\) ...
exo7 98
Soit \((a, b, c, d) \in \Rr^4\) tel que \(ad-bc = 1\) et ...
exo7 99
Que dire de trois complexes \(a\), \(b\), \(c\) ...
Racines de nombres complexes
Calculer les racines carrées de \(1, i, 3+4 i, 8-6 i, 7+24 i\).
Reste de division euclidienne
On cherche, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), le reste de la division euclidienne du polynôme ...
Second degré -- sans les racines
On note \((E)\) l’équation \(2x^2+11x-4=0\).
Simplification avec des racines cubiques
Simplifier \(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\).
Simplification de nombres complexes
Simplifier au maximum les expressions complexes suivantes.
Toujours se méfier des inconnues
Soit \((E) : mx^2+x(2m-1)-2=0\) où \(x\) et ...
Une inégalité secondaire
Soient \(a, b, c\) et \(x\) des réels tels que ...
Équations
Résoudre les équations suivantes, d’inconnue \(x\).